高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專(zhuān)題四立體幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥立體幾何專(zhuān)題是浙江新高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)和空間位置關(guān)系及空間角，一大題?？伎臻g位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求本專(zhuān)題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能突破點(diǎn)8空間幾何體表面積或體積的求解 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第29頁(yè))核心知識(shí)提煉提煉1 求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. 提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切 (1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑ra，外接球的半徑Ra.(2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖8­1所示圖8­1正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ；正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG；正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1.高考真題回訪回訪1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及三視圖1(20xx·浙江高考)如圖8­2，斜線段AB與平面所成的角為60°，B為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB30°，則點(diǎn)P的軌跡是()圖8­2A直線B拋物線C橢圓D雙曲線的一支C因?yàn)镻AB30°，所以點(diǎn)P的軌跡為以AB為軸線，PA為母線的圓錐面與平面的交線，且平面與圓錐的軸線斜交，故點(diǎn)P的軌跡為橢圓2(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8­3所示，則該幾何體的體積是()圖8­3A72 cm3B90 cm3C108 cm3D138 cm3B該幾何體為一個(gè)組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長(zhǎng)方體，如圖所示VV三棱柱V長(zhǎng)方體×4×3×34×3×6187290(cm3)3(20xx·浙江高考)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8­4所示，則該幾何體的體積是()圖8­4A108 cm3B100 cm3C92 cm3D84 cm3B此幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1被截去了一個(gè)三棱錐A­DEF，如圖所示，其中這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6108(cm3)三棱錐的三條棱AE、AF、AD的長(zhǎng)分別為4、4、3，故其體積為××48(cm3)，所以所求幾何體的體積為1088100(cm3)回訪2幾何體的表面積或體積4(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8­5所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()圖8­5A.1B.3 C.1D.3A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，該幾何體的體積V××12×3××××31.故選A.5(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8­6所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()圖8­6A8 cm3B12 cm3C. cm3D. cm3C由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐構(gòu)成的組合體下面是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體，體積V12×2×28(cm3)；上面是底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm的正四棱錐，體積V2×2×2×2(cm3)，所以該幾何體的體積VV1V2(cm3)6(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8­7所示，則此幾何體的表面積是()圖8­7A90 cm2B129 cm2C132 cm2D138 cm2D該幾何體如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積S2×(4×64×3)3×63×39939138(cm2)7(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖8­8所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_cm2，體積是_cm3.圖8­88040由三視圖還原幾何體如圖所示，下面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬都是4，高為2；上面正方體的棱長(zhǎng)為2.所以該幾何體的表面積為(4×42×42×4)×22×2×480(cm2)；體積為4×4×22340(cm3)8(20xx·浙江高考)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖8­9所示，則此幾何體的體積等于_cm3.圖8­924由三視圖可知該幾何體為一個(gè)直三棱柱被截去了一個(gè)小三棱錐，如圖所示三棱柱的底面為直角三角形，且直角邊長(zhǎng)分別為3和4，三棱柱的高為5，故其體積V1×3×4×530(cm3)，小三棱錐的底面與三棱柱的上底面相同，高為3，故其體積V2××3×4×36(cm3)，所以所求幾何體的體積為30624(cm3) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第31頁(yè))熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類(lèi)題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解.【例1】(1)如圖8­10，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖8­10A17B18C20D28(2)如圖8­11，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334098】圖8­11A1836B5418C90D81(1)A(2)B(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選B.方法指津1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)某幾何體的三視圖如圖8­12所示，則該幾何體的體積為()圖8­12A.B5C5D.(2)(20xx·溫州市普通高中4月高考模擬考試12)某幾何體的三視圖如圖8­13所示，則此幾何體的體積是_，表面積是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334099】圖8­13(1)D(2)622(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V2×1×2××1×1×2××12×2.(2)由三視圖知，該幾何體為四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2，所以該幾何體的體積V×22×2，表面積S2×2×2×2×2×22××2×622.熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問(wèn)題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類(lèi)問(wèn)題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解.【例2】(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖8­14所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖8­14A.B.C.D.(2)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334100】A4B.C6D.(1)D(2)B(1)法一由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ­ ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S­ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.法二由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ­ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知HS2，由正視圖和側(cè)視圖可得HAHBHC2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長(zhǎng)SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑，由點(diǎn)A在球面上可得SAAP.又SH平面ABC，所以SHAH.在RtASH中，SA4.設(shè)球的半徑為R，則SP2R，在RtSPA中，由射影定理可得SA2SH×SP，即422×2R，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.(2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R.因?yàn)锳BC的內(nèi)切圓半徑為2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax3.故選B.方法指津解決球與幾何體的切、接問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來(lái)確定.對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過(guò)球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來(lái).變式訓(xùn)練2(1)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60°，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334101】 A.B.C.D20(2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖8­15(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是_圖8­15(1)B(2)20(1)設(shè)A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB×ACcosBAC32122×3×1×cos 60°7，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設(shè)直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2d2r2122，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.(2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長(zhǎng)、寬分別為4和2的矩形，高為2，且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直，且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過(guò)底面中心O且與底面垂直的直線上，同時(shí)在過(guò)側(cè)面SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上因?yàn)镾DC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為RAC，故外接球的表面積為4R220.