高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5突破點(diǎn)5數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用 (對應(yīng)學(xué)生用書第19頁)核心知識提煉提煉1 an和Sn的關(guān)系若an為數(shù)列an的通項(xiàng)，Sn為其前n項(xiàng)和，則有an在使用這個關(guān)系式時，一定要注意區(qū)分n1，n2兩種情況，求出結(jié)果后，判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法(1)定義法：形如an1anc(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項(xiàng)不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項(xiàng)公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項(xiàng)公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中t，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解(5)構(gòu)造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構(gòu)造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來用待定系數(shù)法求解(6)取對數(shù)法：形如an1pa(p>0，an>0)，先在原遞推公式兩邊同時取對數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解.提煉3數(shù)列求和數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項(xiàng)，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項(xiàng)相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項(xiàng)法等，而裂項(xiàng)相消法，錯位相減法是常用的兩種方法.提煉4數(shù)列的綜合問題數(shù)列綜合問題的考查方式主要有三種：(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小(2)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(3)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題，此類問題大多還要借助構(gòu)造函數(shù)去證明，或者是直接利用放縮法證明或直接利用數(shù)學(xué)歸納法高考真題回訪回訪1數(shù)列求和1(20xx浙江高考)已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an()bn(nN*)若an為等比數(shù)列，且a12，b36b2.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn(nN*)記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.求Sn；求正整數(shù)k，使得對任意nN*，均有SkSn.解(1)由題意知a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()b3b28.又由a12，得公比q2(q2舍去)，2分所以數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n(nN*)，所以，a1a2a3an2()n(n1)故數(shù)列bn的通項(xiàng)為bnn(n1)(nN*).5分(2)由(1)知cn(nN*)，所以Sn(nN*).7分因?yàn)閏10，c2>0，c3>0，c4>0，當(dāng)n5時，cn，9分而>0，得<1，11分所以，當(dāng)n5時，cn<0.綜上，對任意nN*恒有S4Sn，故k4.14分回訪2數(shù)列的綜合問題2(20xx浙江高考)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)證明：當(dāng)nN*時，(1)0<xn1<xn；(2)2xn1xn；(3)xn.解(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0.當(dāng)n1時，x11>0.假設(shè)nk時，xk>0，那么nk1時，若xk10，則0<xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk1>0.3分因此xn>0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)>xn1.因此0<xn1<xn(nN*).5分(2)證明：由xnxn1ln(1xn1)得xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1).7分記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)，f(x)ln(1x)>0(x>0)，函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*).10分(3)證明：因?yàn)閤nxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得2>0，13分所以22n12n2，故xn.綜上，xn(nN*).15分3(20xx浙江高考)設(shè)數(shù)列an滿足1，nN*.(1)證明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|n，nN*，證明：|an|2，nN*.證明(1)由1，得|an|an1|1，故，nN*，2分所以<1，因此|an|2n1(|a1|2).5分(2)任取nN*，由(1)知，對于任意m>n，<，故|an|<2n2n2m2n.8分從而對于任意m>n，均有|an|<2m2n.由m的任意性得|an|2.否則，存在n0N*，有|an0|>2，取正整數(shù)m0>log且m0>n0，11分則2n0m0<2n0log|an0|2，與式矛盾綜上，對于任意nN*，均有|an|2.15分 (對應(yīng)學(xué)生用書第21頁)熱點(diǎn)題型1數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關(guān)系為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及推理論證的能力.【例1】數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 【導(dǎo)學(xué)號：68334070】解由已知，當(dāng)n2時，1，所以1，2分即1，所以.4分又S1a11，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，6分所以1(n1)，即Sn.8分所以當(dāng)n2時，anSnSn1.12分因此an15分方法指津給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通項(xiàng)公式時，務(wù)必驗(yàn)證n1時的情形 變式訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an2n ，則Sn_. 【導(dǎo)學(xué)號：68334071】(2)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn23an(nN*)，則an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得當(dāng)n1時，S1a12；當(dāng)n2時，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則n，Snn2n(n2)，當(dāng)n1時，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因?yàn)?Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.當(dāng)n1時，22S13a1，所以a12，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an23n1(nN*)熱點(diǎn)題型2裂項(xiàng)相消法求和題型分析：裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列與式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.【例2】已知等差數(shù)列an的公差d0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比數(shù)列，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<.解(1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比數(shù)列，即aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d4.4分故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n2，nN*.6分(2)證明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn1.11分又TnT1，所以Tn<.15分方法指津裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常見的裂項(xiàng)方式有：提醒：在裂項(xiàng)變形時，務(wù)必注意裂項(xiàng)前后系數(shù)的變化.變式訓(xùn)練2(名師押題)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題設(shè)知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.6分(2)Sn2n1.8分又bn，12分所以Tnb1b2bn1.15分熱點(diǎn)題型3錯位相減法求和題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯位相減法的運(yùn)算量相對較大，故該命題點(diǎn)出現(xiàn)的頻率不高，但其仍是命題的熱點(diǎn)之一，務(wù)必加強(qiáng)訓(xùn)練.【例3】已知數(shù)列an和bn滿足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an與bn；(2)記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).2分由題意知：當(dāng)n1時，b1b21，故b22.3分當(dāng)n2時，bnbn1bn.4分整理得，所以bnn(nN*).6分(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，10分所以Tn2Tn222232nn2n1.12分故Tn(n1)2n12(nN*).15分方法指津運(yùn)用錯位相減法求和應(yīng)注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列an，bn中一個為等差數(shù)列，一個為等比數(shù)列；二是錯開位置，一般先乘以公比，再把前n項(xiàng)和退后一個位置來書寫，這樣避免兩式相減時看錯列；三是相減，相減時一定要注意式中最后一項(xiàng)的符號，考生常在此步出錯，一定要細(xì)心提醒：為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進(jìn)行驗(yàn)證變式訓(xùn)練3已知在公比大于1的等比數(shù)列an中，a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點(diǎn)(1)求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn.解(1)因?yàn)閍2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點(diǎn)，且等比數(shù)列an的公比q大于1，所以a22，a48，2分所以q2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1(nN*).6分(2)由(1)知2nann2n ，所以Sn12222n2n，7分2Sn122223(n1)2nn2n1，11分由，得Sn222232nn2n1n2n1，13分所以Sn2(n1)2n1(nN*).15分熱點(diǎn)題型4數(shù)列的綜合問題題型分析：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題多為解答題.難度偏大，屬中高檔題，常有以下兩個命題角度：(1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題.【例4】(20xx紹興市方向性仿真考試)已知數(shù)列an滿足，a11，an.(1)求證：an1；(2)求證：|an1an|；(3)求證：|a2nan|. 【導(dǎo)學(xué)號：68334072】證明(1)由已知得an1，又a11，所以a2，a3，a4，猜想an1.2分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，命題顯然成立；假設(shè)nk時，有an1成立，則當(dāng)nk1時，ak11，ak1，即當(dāng)nk1時也成立，所以對任意nN*，都有an1.5分(2)當(dāng)n1時，|a2a1|，當(dāng)n2時，11，7分|an1an|anan1|n1|a2a1|n1.綜上所述，|an1an|.10分(3)當(dāng)n1時，|a2a1|；11分當(dāng)n2時，|a2nan|a2na2n1|a2n1a2n2|an1an|n12n13.15分方法指津解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題，要靈活的選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法及數(shù)學(xué)歸納法等；如果是解不等式問題，要使用解不等式的各種解法，如列表法、因式分解法、穿根法等，總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了.變式訓(xùn)練4(20xx臺州市高三年級調(diào)考)已知數(shù)列an滿足：an0，an12(nN*)(1)求證：an2an12(nN*)；(2)求證：an1(nN*)證明(1)由an0，an12，得an122.2分因?yàn)?an22(由題知an1an2)，所以an2an12.4分(2)法一：假設(shè)存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得當(dāng)nN時，anaN11.6分根據(jù)an1110，而an1，所以1，于是1，1.10分累加可得n1.(*)由假設(shè)可得aNn10，12分而當(dāng)n1時，顯然有n10，因此有n1，這顯然與(*)矛盾所以an1(nN*).15分法二：假設(shè)存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得當(dāng)nN時，0anaN11.6分根據(jù)an1110，而an1，所以，所以1.于是1an(1an1)，1an1(1an2)，1aN2(1aN1).10分累乘可得1an(1aN1)nN1，(*)由(1)可得1an1，12分而當(dāng)n N1時，則有(1aN1)nN11，這顯然與(*)矛盾所以an1(nN*).15分