高考數學精品復習資料 2019.5專題限時集訓(九)空間中的平行與垂直關系 (對應學生用書第133頁) 建議A、B組各用時：45分鐘A組高考達標一、選擇題1設l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是()A若lm，m，則lB若l，lm，則mC若l，m，則lmD若l，m，則lmBA中，根據線面垂直的判定定理，只有垂直平面內兩條相交直線才行，故A不正確；B中，由線面垂直的性質可知，平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直這個平面，故B正確；C中，l，m可能平行也可能異面，故C不正確；D中，平行于同一平面的兩直線可能平行，異面，相交，故D不正確，故選B.2設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若mn，m，則n；若m，m，則.其中真命題的個數為() 【導學號：68334110】A1B2C3D4A對于，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對于，平面與可能平行或相交，故錯誤；對于，直線n可能平行于平面，也可能在平面內，故錯誤；對于，由兩平面平行的判定定理易得平面與平行，故錯誤綜上所述，正確命題的個數為1，故選A.3如圖912所示，直線PA垂直于O所在的平面，ABC內接于O，且AB為O的直徑，點M為線段PB的中點現(xiàn)有結論：BCPC；OM平面APC；點B到平面PAC的距離等于線段BC的長其中正確的是()圖912ABCDB對于，PA平面ABC，PABC.AB為O的直徑，BCAC.又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC.對于，點M為線段PB的中點，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC.對于，由知BC平面PAC，線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故都正確4已知，是兩個不同的平面，有下列三個條件：存在一個平面，；存在一條直線a，a，a；存在兩條垂直的直線a，b，a，b.其中，所有能成為“”的充要條件的序號是()ABCDD對于，存在一個平面，則，反之也成立，即“存在一個平面，”是“”的充要條件，所以對，可排除B，C.對于，存在兩條垂直的直線a，b，則直線a，b所成的角為90，因為a，b，所以，所成的角為90， 即，反之也成立，即“存在兩條垂直的直線a，b，a，b”是“”的充要條件，所以對，可排除A，選D.5在三棱錐PABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC上的動點，則下列說法錯誤的是()圖913A當AEPB時，AEF一定為直角三角形B當AFPC時，AEF一定為直角三角形C當EF平面ABC時，AEF一定為直角三角形D當PC平面AEF時，AEF一定為直角三角形B因為AP平面ABC，所以APBC，又ABBC，且PA和AB是平面PAB上兩條相交直線，則BC平面PAB，BCAE.當AEPB時，AE平面PBC，則AEEF，AEF一定是直角三角形，A正確；當EF平面ABC時，EF在平面PBC上，平面PBC與平面ABC相交于BC，則EFBC，則EFAE，AEF一定是直角三角形，C正確；當PC平面AEF時，AEPC，又AEBC，則AE平面PBC，AEEF，AEF一定是直角三角形，D正確；B中結論無法證明，故選B.二、填空題6已知P為ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正確命題的個數是_. 【導學號：68334111】3如圖所示，PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB，但AB不一定垂直于BC.7在三棱錐CABD中(如圖914)，ABD與CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜邊BD的中點，AB4，二面角ABDC的大小為60，并給出下面結論：ACBD；ADCO；AOC為正三角形；cos ADC；四面體ABCD的外接球表面積為32.其中真命題是_(填序號)圖914由題意知BDCO，BDAO，則BD平面AOC，從而BDAC，故正確；根據二面角ABDC的大小為60，可得AOC60，又直線AD在平面AOC的射影為AO，從而AD與CO不垂直，故錯誤；根據AOC60，AOCO可得AOC為正三角形，故正確；在ADC中 ，ADCD4，ACCO2，由余弦定理得cos ADC，故錯誤；由題意知，四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為2，則外接球的表面積為S4(2)232，故正確8正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結論中正確的是_(填序號)ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐EABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.因為AC平面BDD1B1，故，正確；記正方體的體積為V，則VEABCV為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯誤三、解答題9如圖915，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.圖915(1)求證：DC平面PAC.(2)求證：平面PAB平面PAC.(3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA平面CEF？說明理由解(1)證明：因為PC平面ABCD，所以PCDC. 2分又因為DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.4分(2)證明：因為ABDC，DCAC，所以ABAC.因為PC平面ABCD，所以PCAB.又因為PCACC，所以AB平面PAC.8分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.9分(3)棱PB上存在點F，使得PA平面CEF.12分理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF.又因為E為AB的中點，所以EFPA.又因為PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.15分10(20xx紹興稽陽聯(lián)誼學校高三4月聯(lián)考)如圖916，四邊形ABCD為梯形，ABCD，C60，點E在CD上，ABCE，BFBD，BDBC.現(xiàn)將ADE沿AE折成如圖2APE位置，使得二面角PAEC的大小為.圖916(1)求PB的長度；(2)求證：PB平面ABCE；(3)求直線CE與平面APE所成角的正弦值 【導學號：68334112】解(1)因為AB平行且等于EC，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以BCAE，又因為BDBC，所以BDAE，所以AEFB，AEFP，即PFB為二面角PAEC的平面角.3分又BF，PF2，由余弦定理得BP2BF2PF22BFPFcosBFP9，所以BP3.5分(2)證明：BF，PF2，BP3，滿足勾股定理，所以BFPB.又因為BFAE，PFAE，BFPFF，所以AE平面PFB，所以AEPB.7分又BFAEF，則PB平面ABCE.9分(3)法一：作BNPF于點N，連接AN，由(2)可知，AE平面BFP，所以平面BFP平面APE，又平面BFP平面APEPF，所以BN平面APE，12分所以BAN是直線AB與平面APE所成的角在RtFBP中，BNBFsin，sinNAB.13分所以直線AB與平面APE所成角的正弦值為，即直線CE與平面APE所成角的正弦值為.15分法二：由于BF，BP，BC兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標系，則B(0,0,0)，C(3,0,0)，A(1，0)，E(2，0)，P(0,0,3)，則(3,0,0)，(1，3)，12分設平面APE的法向量為n(x，y，z)，則即取z1，則n(0，1)，13分設直線CE與平面APE所成的角為，(1，0)，則sin |cosn，|，即直線EC與平面APE所成角的正弦值為.15分 B組名校沖刺一、選擇題1已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長相等，若AA1B1AA1C160，則異面直線A1C與AB1所成角的余弦值是() 【導學號：68334113】圖917A.B.C.D.A將三棱柱補上一個相同的三棱柱構成一個四棱柱，如圖所示，易知圖中A1CD1為所求角因為三棱柱的所有棱長均相等，不妨設為1，則根據此三棱柱的性質有A1D1A1C，CD11，則由余弦定理得cosA1CD1，故選A.2如圖918，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()圖918A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，則CDAB.又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC，故選D.3如圖919，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在AEF內的射影為O，則下列說法正確的是()圖919AO是AEF的垂心BO是AEF的內心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF.POPAP，EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O為AEF的垂心故選A.4如圖920，小于90的二面角l中，Ol，A，B，且AOB為鈍角，AOB是AOB在內的射影，則下列結論錯誤的是()圖920AAOB為鈍角BAOB>AOBCAOBAOA<DBOBAOBAOA>D考慮將圖形特殊化，即可將此圖形置于正方體中，正方體的一個對角面與底面分別為條件中的平面，如圖所示，O為所在棱的中點，A，B為所在面對角線上的一個三等分點，A，B分別為A，B在平面上的射影設正方體棱長為3，則OAOB，OAOB，AABB1，則由余弦定理得cosAOB，cosAOB<，所以AOB>AOB>，所以A，B正確；又cosAOAcosBOB>，所以AOABOB<，且由cosAOB>知AOB<，所以AOBAOA<，BOBAOBAOA<，所以C正確，D錯誤，故選D.二、填空題5如圖921，正方形BCDE的邊長為a，已知ABBC，將ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，關于翻折后的幾何體有如下描述：圖921AB與DE所成角的正切值是；ABCE；VBACEa3；平面ABC平面ACD.其中正確的有_(填序號)作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示：ABBCa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE，ABC是異面直線AB，DE所成的角，故正確連接BD，CE，則CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD.又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD.又AB平面ABD，CEAB，故錯誤VBACEVABCESBCEADa2a，故正確AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD.又BCCD，CDADD，CD，AD平面ACD，BC平面ACD.BC平面ABC，平面ABC平面ACD，故正確故答案為.6(20xx金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考)已知ABC中，C90，tan A，M為AB的中點現(xiàn)將ACM沿CM折成三棱錐PCBM.當二面角PCMB大小為60時，_.圖922作PECM于點E，BFCM交CM的延長線于點F，連接AE，則AECF，且PE與BF所成銳角等于二面角PCMB的大小，即為60.不妨設AC1，則由tanBAC，ACB90，得BC，AB，則由M是AB的中點，知MBMC，則sinBCFsinABC，|sinBCF，|2|22，則由，得|2()2|2|2|22|cos 602cos 601，PB1，故.三、解答題7端午節(jié)即將到來，為了做好端午節(jié)商場促銷活動，某商場打算將進行促銷活動的禮品盒重新設計方案如下：將一塊邊長為10的正方形紙片ABCD剪去四個全等的等腰三角形：SEE，SFF，SGG，SHH，再將剩下的陰影部分折成一個四棱錐形狀的包裝盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于點O，E與E重合，F(xiàn)與F重合，G與G重合，H與H重合(如圖923所示)圖923(1)求證：平面SEG平面SFH；(2)當AE時，求二面角ESHF的余弦值解(1)證明：折后A，B，C，D重合于一點O，拼接成底面EFGH的四個直角三角形必為全等的等腰直角三角形，底面DFGH是正方形，EGFH，EOOG.2分連接SO，由題意知SESG，EGSO.4分又SO，F(xiàn)H平面SFH，SOFHO，EG平面SFH.又EG平面SEG，平面SEG平面SFH.6分(2)過O作OMSH交SH于M點，連接EM，EO平面SFH，SH平面SFH，EOSH，SH平面EMO，EMO為二面角ESHF的平面角.8分當AE時，在原平面圖形中，可求得SE.在RtSOE中，可求得SO5.10分RtSHO中，OH，SO5，SH，OM，12分RtEMO中，EM，cosEMO.14分所求二面角的余弦值為.15分8(20xx蕭山中學高三5月仿真考試)如圖924，已知矩形ABCD中，AB4，AD3，現(xiàn)將DAC沿著對角線AC向上翻折到PAC位置，此時PAPB.圖924(1)求證：平面PAB平面ABC；(2)求直線AB與平面PAC所成角的正弦值 【導學號：68334114】解(1)證明：因為PAPB，PAPC，PBPCP，所以PA平面PBC，3分所以PABC，又BCAB，ABAPA，所以BC平面PAB，5分又BC平面ABC，所以平面PAB平面ABC.7分(2)法一：如圖，作BDPC于點D，連接AD，由(1)知PA平面PBC，所以PABD，而BDPC，PAPCP，所以BD平面PAC，所以BAD為直線AB與平面PAC所成的角，10分在RtPBC中，BC3，PC4，PB，所以BD13分，又AB4，在RtADB中，sinBAD，所以直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分法二：由(1)知平面PAB平面ABC，所以在平面PAB內，過點P作PEAB于點E，則PE平面ABC，9分如圖，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系(z軸與直線PE平行)，在RtPBC中，BC3，PC4，PB，在RtAPB中，AP3，AB4，PE，BE，可知A(0，4,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P，12分(3,4,0)，則易得平面PAC的一個法向量為m，(0,4,0)，所以cos，m，故直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分