高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5突破點(diǎn)7隨機(jī)變量及其分布 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第26頁(yè))核心知識(shí)提煉提煉1離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn則(1)pi0.(2)p1p2pipn1(i1,2,3，n)(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做隨機(jī)變量X的方差(4)均值與方差的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))(5) 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).提煉2幾種常見(jiàn)概率的計(jì)算(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)(2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.高考真題回訪回訪1離散型隨機(jī)變量及其分布列1(20xx浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334087】解(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，1分P(3)，2分P(4)，3分P(5)，4分P(6).5分所以的分布列為23556P6分(2)由題意知的分布列為123P所以E()，10分D()222，化簡(jiǎn)得13分解得a3c，b2c，故abc321.15分回訪2離散型隨機(jī)變量的均值與方差2(20xx浙江高考)已知隨機(jī)變量i滿足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0<p1<p2<，則()AE(1)<E(2)，D(1)<D(2)BE(1)<E(2)，D(1)>D(2)CE(1)>E(2)，D(1)<D(2)DE(1)>E(2)，D(1)>D(2)A由題意可知i(i1,2)服從兩點(diǎn)分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)又0<p1<p2<，E(1)<E(2)把方差看作函數(shù)yx(1x)，根據(jù)0<1<2<知，D(1)<D(2)故選A.3(20xx浙江高考)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i1,2)個(gè)球放入甲盒中(1)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i1,2)；(2)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i1,2)則() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334088】Ap1>p2，E(1)<E(2)Bp1<p2，E(1)>E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2)Dp1<p2，E(1)<E(2)A隨機(jī)變量1，2的分布列如下：112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)<E(2)因?yàn)閜1，p2，p1p2>0，所以p1>p2.4(20xx浙江高考)隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.設(shè)P(1)a，P(2)b，則解得所以D()01. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第27頁(yè))熱點(diǎn)題型1相互獨(dú)立事件的概率題型分析：高考主要考查相互獨(dú)立事件概率的求解及實(shí)際應(yīng)用，對(duì)事件相互獨(dú)立性的考查相對(duì)較頻繁，難度中等.【例1】(1)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A0.648B0.432C0.36 D0.312(2)如圖71，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T(mén)1，T2，T3，T4，電流能通過(guò)T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過(guò)T4的概率是0.9.電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999.圖71求p；求電流能在M與N之間通過(guò)的概率(1)A3次投籃投中2次的概率為P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率為P(k3)0.63，所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故選A.(2)記Ai表示事件：電流能通過(guò)Ti，i1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過(guò)123，1，2，3相互獨(dú)立，2分P()P(123)P(1)P(2)P(3)(1p)3.3分又P()1P(A)10.9990.001，4分故(1p)30.001，p0.9.6分BA44A1A341A2A3，10分P(B)P(A44A1A341A2A3)P(A4)P(4A1A3)P(41A2A3)P(A4)P(4)P(A1)P(A3)P(4)P(1)P(A2)P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1.15分方法指津求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的方法(1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，然后用相應(yīng)概率公式求解(2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解變式訓(xùn)練1(20xx杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng)，則顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率是_；若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，則E(X)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334089】由題得，在甲箱中抽中紅球、白球的概率分別為，在乙箱中抽中紅球、白球的概率分別為，.抽獎(jiǎng)一次不獲獎(jiǎng)的概率為，所以其(對(duì)立事件)獲獎(jiǎng)的概率為1.因?yàn)槊看潍@得一等獎(jiǎng)的概率為，3次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，故E(X)np3.熱點(diǎn)題型2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差題型分析：離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常以實(shí)際生活為背景，涉及事件的相互獨(dú)立性、互斥事件的概率等，綜合性強(qiáng)，難度中等.【例2】(1)(20xx蕭山中學(xué)高三仿真考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)2，則D(2X3)()X02aPp1A.1B2C4D5C由題可得p11，解得p1.所以E(X)02a2，解得a3.所以D(X)(02)2(22)2(32)21，所以D(2X3)4D(X)4，故選C.(2)(20xx紹興市方向性仿真考試)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1x2，若E(X)，D(X)，則x1x2()A.B. C.D3D由已知得解得或因?yàn)閤1x2，所以所以x1x2123，故選D.方法指津 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路：(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值.(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，計(jì)算這些可能取值的概率值.(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.提醒：明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 變式訓(xùn)練2(1)(20xx溫州九校協(xié)作體高三期末聯(lián)考)將四位同學(xué)等可能地分到甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)，則甲班級(jí)至少有一位同學(xué)的概率是_，用隨機(jī)變量表示分到丙班級(jí)的人數(shù)，則E_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：68334090】甲班級(jí)沒(méi)有分到同學(xué)的概率為，所以甲班級(jí)至少有一位同學(xué)的概率為1.隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，則P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，于是E01234.(2)(20xx金華十校高考模擬考試)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X123Pa則a_；E(X)_.由分布列的概念易得a1，解得a，則E(X)123.