人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料課時提升作業(yè)(六)球的體積和表面積(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知圓錐SO的底面直徑和高相等且都等于球O的直徑,那么球的體積V1與圓錐的體積V2的關(guān)系是()A.V1=V2B.V1=2V2C.V1=2V2D.V1=3V2【解析】選C.設(shè)球O的半徑r,則由題意得圓錐SO的底面直徑和高都是2r,所以V1=43×r3,V2=13×r2·2r=23×r3,所以V1=2V2.2.兩個球的表面積之差為48,它們的大圓周長之和為12,這兩個球的半徑之差為()A.2B.3C.2D.1【解析】選C.設(shè)兩球的半徑分別為R,r(R>r),則4R2-4r2=48,2R+2r=12,即R2-r2=12,R+r=6.兩式相除得R-r=2.3.(2015·全國卷)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為12×4r2+r×2r+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.4.(2015·臨沂高一檢測)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A.4B.8C.12D.20【解析】選D.由三視圖可知,該幾何體為底面半徑是2,高為2的圓柱體和半徑為1的球體的組合體,則該幾何體的表面積為4×12+2×22+4×2=20.5.(2015·重慶高二檢測)三個球的半徑之比為123,那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()A.1倍B.2倍C.95倍D.74倍【解析】選C.由已知,可設(shè)最小的球的半徑為r,則另兩個球的半徑為2r,3r,所以各球的表面積分別為4r2,16r2,36r2.所以36r24r2+16r2=3620=95(倍).二、填空題(每小題5分,共15分)6.若一個球的表面積與其體積在數(shù)值上相等,則此球的半徑為.【解析】設(shè)此球的半徑為R,則4R2=43R3,R=3.答案:37.(2015·上海高一檢測)在底面直徑為6的圓柱形容器中,放入一個半徑為2的冰球,當(dāng)冰球全部溶化后,容器中液面的高度為.(相同質(zhì)量的冰與水的體積比為109)【解析】半徑為2的冰球的體積為43×23=323,水的體積為485,設(shè)冰球全部溶化后,容器中液面的高度為h,則×32h=485,所以h=1615.答案:16158.兩個球的半徑相差1,表面積之差為28,則它們的體積和為.【解析】設(shè)大、小兩球半徑分別為R,r,則R-r=1,4R2-4r2=28,所以R=4,r=3,所以體積和為43R3+43r3=3643.答案:3643【拓展延伸】計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵及常見題型計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵是求球的半徑.常見題型有:(1)已知球的半徑求其表面積和體積.(2)已知體積和表面積求其半徑.三、解答題(每小題10分,共20分)9.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.【解析】該組合體的表面積S=4r2+2rl=4×12+2×1×3=10,該組合體的體積V=43r3+r2l=43×13+×12×3=133.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一種空心鋼球的質(zhì)量是732g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼密度9g/cm3)【解析】利用“體積=質(zhì)量密度”及球的體積公式V球=43R3,設(shè)球的內(nèi)徑為r,由已知得球的體積V=7329=2443(cm3).由V=43(53-r3)得2443=43(53-r3),解得r=4cm.10.(2015·昆明高一檢測)若一個底面邊長為62,側(cè)棱長為6的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個球面上,求該球的體積和表面積.【解題指南】明確該六棱柱中最長的體對角線與外接球直徑的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.【解析】在底面正六邊形ABCDEF中,連接BE,AD交于O,連接BE1,則BE=2OE=2DE,所以BE=6,在RtBEE1中,BE1=BE2+E1E2=23,所以2R=23,則R=3,所以球的體積V球=43R3=43,球的表面積S球=4R2=12.【拓展延伸】解答球的組合體問題的關(guān)鍵(1)根據(jù)組成形式確定球心位置和球的半徑.(2)利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征作出關(guān)鍵截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2015·荊州高一檢測)用與球心距離為1的平面去截球,所得截面面積為,則球的體積為()A.323B.83C.82D.823【解析】選D.設(shè)球的半徑為R,截面圓的半徑為r,由題意可得截面圓的半徑為r=1,因此球的半徑R=12+12=2,球的體積為43R3=823.【補(bǔ)償訓(xùn)練】平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為2,則此球的體積為()A.6B.43C.46D.63【解析】選B.設(shè)球的半徑為R,由球的截面性質(zhì)得R=(2)2+12=3,所以球的體積V=43R3=43.【延伸拓展】球體的截面的特點(diǎn)(1)球既是中心對稱的幾何體,又是軸對稱的幾何體,它的任何截面均為圓,它的三視圖也都是圓.(2)利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑.2.一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長分別為3,4,5,則它的外接球的表面積是()A.202B.252C.50D.200【解題指南】此三棱錐可視為一個長方體的一個角,因此可以將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球.【解析】選C.因?yàn)檫@個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,所以此三棱錐可視為一個長方體的一個角(如圖所示),而且此長方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)三棱錐的外接球半徑為r,則有2r2=32+42+52=50,即4r2=50,它的外接球的表面積是S=4r2=50.二、填空題(每小題5分,共10分)3.一個幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是cm3.【解析】由三視圖知,幾何體是一個由三部分組成的組合體,上面是一個半球,半球的半徑是1,所以半球的體積是12×43××13=23,下面是半個圓柱和一個四棱柱,圓柱的底面半徑是1,高是2,所以半個圓柱的體積是12××12×2=,四棱柱的底面是一個邊長分別是1和2的矩形,高是2,所以四棱柱的體積是1×2×2=4,所以空間組合體的體積是23+4=53+4(cm3).答案:53+4【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)根據(jù)三視圖將此組合體的下面判斷為一個圓柱或一個四棱柱的錯誤.4.(2015·溫州高二檢測)已知兩個正四棱錐有公共底面,且底面邊長為4,兩棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個球面上若這兩個正四棱錐的體積之比為12,則該球的表面積為.【解析】因?yàn)閮蓚€正四棱錐有公共底面且兩個正四棱錐的體積之比為12,所以兩個正四棱錐的高的比也為12,設(shè)兩個棱錐的高分別為x,2x,球的半徑為R,則x+2x=3x=2R,即R=3x2,球心到公共底面距離是x2,又因?yàn)榈酌孢呴L為4,所以R2=3x22=x22+(22)2,解得x=2,所以R=3,該球的表面積S=4R2=36.答案:36三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2015·青島高一檢測)如圖是一個幾何體的三視圖(單位:cm),試畫出它的直觀圖,并計(jì)算這個幾何體的體積與表面積.【解析】這個幾何體的直觀圖如圖所示.因?yàn)閂長方體=10×8×15=1200(cm3),又V半球=12×43R3=12×43×523=12512(cm3),所以所求幾何體的體積為V=V長方體+V半球=1200+12512(cm3).因?yàn)镾長方體全=2×(10×8+8×15+10×15)=700(cm2),S半球=12×4×522=252,S半球底=×522=254,故所求幾何體的表面積S表面積=S長方體全+S半球-S半球底=700+254(cm2).6.如圖(單位:cm),求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.【解析】由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺下底面、側(cè)面和一個半球面.S半球=8cm2,S圓臺側(cè)=35cm2,S圓臺底=25cm2.故所求幾何體的表面積為68(cm2).V圓臺=13××22+×22××52+×52×4=52(cm3),V半球=43×23×12=163(cm3).所以,旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺-V半球=52-163=1403(cm3).關(guān)閉Word文檔返回原板塊