人教版高中數學必修精品教學資料 高中數學 2.4.1 等比數列的概念與通項公式練習 新人教 A 版必修 5 基礎梳理 1 (1) 等 比 數 列 的 定 義 ： _ 定 義 的 數 學 式 表 示 為_ (2)判斷下列數列是不是等比數列： 2,4,8,16； 1,3,5,8,9,10. 2(1)首項為 a1,公比為 q 的等比數列的通項公式為_ (2)寫出下列數列的一個通項公式： 2,4,8,16,32； 1,5,25,125,. 3(1)等比中項的定義： _. (2)判斷下列各組數是否有等比中項,若有,求出其等比中項 2,4； 3,9； 6,8. 4(1)當 a10,q 1 時,等比數列an是_數列； 當 a10,0q1,等比數列an是_數列； 當 a10,0q1 時,等比數列an是_數列； 當 a10,q 1 時,等比數列an是_數列； 當 a10,q0 時,等比數列an是_數列； 當 q1 時,等比數列an是_數列 (2)判斷下列等比數列是遞增還是遞減數列 3,9,27,； 數列an的通項公式為 an2n3 (nN*) 5等比數列an的通項公式ana1qn1(a1q0),它的圖象是分布在曲線 _ 上的一些孤立的點 基礎梳理 1(1)從第二項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數 an1anq(nN*,q0) (2)由定義知是 不是,不滿足定義 2(1)ana1qn1(a1q0)(nN*) (2)an2n,n1、2、3、4、5 an5n1,nN* 3(1)如果a,G,b成等比數列,則G叫a與b的等比中項 (2)所求等比中項有兩個,為2 2 沒有等比中項 所求等比中項為4 3 4(1)遞增 遞增 遞減 遞減 擺動 常 (2)遞減數列 遞增數列 5ya1qqx(q0) 自測自評 1 已知下列各數列： 1,2,4,8； 1, 3,3,3 3； a,a,a,a； 1a,1a2,1a3,1a4.其中成等比數列的是( ) A B C D 2如果1,a,b,c,9 成等比數列,那么( ) Ab3,ac9 Bb3,ac9 Cb3,ac9 Db3,ac9 3(2014江蘇卷)在各項均為正數的等比數列an中,若a21,a8a62a4,則a6的值是_ 自測自評 1 解析： 由等比數列的定義知都成等比數列 當a0 時,不能成等比數列 故選 C. 答案：C 2 解析： b是1,9 的等比中項,b29,b3,又因為等比數列奇數項符號相同,得b0,故b3,而b又是a,c的等比中項,故b2ac,ac9,故選 B. 答案：B 3解析：設公比為q,因為a21,則由a8a62a4得q6q42q2,q4q220,解得q22,所以a6a2q44. 答案：4 基礎達標 1(2014重慶卷)對任意等比數列an,下列說法一定正確的是( ) Aa1,a3,a9成等比數列 Ba2,a3,a6成等比數列 Ca2,a4,a8成等比數列 Da3,a6,a9成等比數列 1解析：因為數列an為等比數列,設其公比為q,則a3a9a1q2a1q8(a1q5)2a26所以,a3,a6,a9一定成等比數列,故選 D. 答案：D 2在等比數列中,a198,an13,q23,則項數n為( ) A3 B4 C5 D6 2解析：由a1qn1an9823n113n4. 答案：B 3等差數列an的首項a11,公差d0,如果a1,a2,a5成等比數列,那么d等于( ) A3 B2 C2 D2 或2 3解析：由a22a1a5(a1d)2a1(a14d) (1d)214dd2.故選 B. 答案：B 4(2013江西卷)等比數列x,3x3,6x6,的第 4 項等于( ) A24 B0 C12 D24 4A 5已知數列a1,a2,a3,a8為各項都大于零的等比數列,公比q1,則( ) Aa1a8a4a5 Ba1a8a4a5 Ca1a8a4a5 Da1a8與a4a5大小不定 5解析：a1a8(a4a5)a1a1q7(a1q3a1q4)a1(1q3)(1q4)0.a1a8a4a5.故選 A. 答案：A 鞏固提高 6設a12,數列12an是公比為 2 的等比數列,則a6等于( ) A31.5 B160 C79.5 D159.5 6解析：12an(12a1)2n1,12a6525.a65321279.5. 答案：C 7三個數成等比數列,它們的和等于 14,它們的積等于 64,則這三個數是_ 7解析：設三數為aq,a,aq,則aqaaq14, aqaaq64, 即a1q1q14,a364, 解得：a4,q12或 2. 故所求三數為 8,4,2 或 2,4,8. 答案：8,4,2 或 2,4,8 8(1)方程x217x160 的兩根的等差中項是_,兩根的等比中項是_ (2)在83和272之間插入三個數,使這五個數成等比數列,則插入的三個數的乘積為_ 8解析：(1)x217x160 的二根的x11,x216. x1與x2等差中項為172,等比中項為4. (2)設插入的三數為a,b,c則b2ac8327236.又b與第一項同號,b6,插入的三數之積abcb3216. 答案：(1)172 4 (2)216 9等比數列an中a2a766,a3a6128,求等比數列的通項公式an. 9解析：設等比數列的首項為a1,公比為d,由題意 a2a766，a3a6128a2a766，a2a7128a22，a764或a264，a72. q5a7a225或125q2 或12. ana2qn22n1或128n. 數列的通項公式為an2n1或an28n,nN*. 點評： 在解決等比數列的有關問題時,除了直接把題意翻譯成數列之外,如果能合理地利用等比數列的性質,往往可以更簡單地得到答案 10已知等比數列an中,a11,公比為q(q1 且q0),且bnan1an. (1)判斷數列bn是否為等比數列,并說明理由 (2)求數列bn的通項公式 10解析：(1)等比數列an中,a11,公比為q, ana1qn1qn1(q0 且q1), 由于bn1bnan2an1an1anqn1qnqnqn1qn（q1）qn1（q1）q, bn是首項為b1a2a1q1,公比為q的等比數列 (2)由(1)可知,bnb1qn1(q1)qn1, bn(q1)qn1(q0 且q1,nN*) 1要注意利用等比數列的定義解題在很多時候緊扣定義是解決問題的關鍵 2 注意基本量法： 在用等比數列通項公式時,以首項a1,公比q為基本量,其他量用這兩個量表示出來,再尋求條件與結論的聯(lián)系,往往使很多問題容易解決 3若已知三個數成等比數列,一般設為：aq1,a,aq. 若已知五個數成等比數列,一般設為：aq2,aq1,a,aq,aq2. 若前三個數成等差數列、 后三個數成等比數列,設四個數分別為ad,a,ad,（ad）2a或 2aq1a,aq1,a,aq. 具體設法,要視題設條件不同而選擇,以便于運算為目的