人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 2.5.2 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 新人教 A 版必修 5 基礎(chǔ)梳理 1(1)重要公式： 123n_； 122232n2_ (2)數(shù)列ann2n的前n項(xiàng)和為：_. 2(1)裂項(xiàng)法求和：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的 1n（n1）_ (2)112123134145156_ 3 累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式： 數(shù)列的基本形式為 an1anf(n)(nN*)的解析式,而f(1)f(2)f(n)的和可求出 已知數(shù)列an滿足an1ann(nN*)且a11,則其通項(xiàng)公式為_ 4累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式：數(shù)列的基本形式為an1anf(n)(nN*)的解析式,而f(1)f(2)f(n)的積可求出 已知數(shù)列an滿足an1ann1n(nN*),a12,則其通項(xiàng)公式為_(nN*) 5待定系數(shù)法：數(shù)列有形如an1kanb(k1)的關(guān)系,可用待定系數(shù)法求得ant為等比數(shù)列,再求得an. 已知數(shù)列an滿足an12an1(nN*),a11,則an1是_ 數(shù)列an通項(xiàng)公式為_ 6 分組求和法： 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但如果將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,那么就可以分別求和,再將其合并即可 數(shù)列 113,219,3127,n13n 的前n項(xiàng)和Sn_ 7 倒序相加法： 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)a1an. sin21sin22sin23sin288sin289_ 8 錯(cuò)位相減法： 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和,其中an、bn分別是等差和等比數(shù)列 基礎(chǔ)梳理 1(1)n（n1）2 n（n1）（2n1）6 (2)Snn（n1）（n2）3 2(1)1n1n1 (2)56 3ann2n22 4an2n 5等比數(shù)列 an2n1 6.12n(n1)12113n 7.892 自測自評 1已知an是等差數(shù)列,a1010,其前 10 項(xiàng)和S1070,則其公差d為( ) A23 B13 C.13 D.23 2數(shù)列(1)nn的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 014等于( ) A1 007 B1 007 C2 014 D2 014 3 (2014安徽卷)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a11,a33,a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q_ 自測自評 1解析：由S1070,可以得到a1a1014,即 a14.所以da10a1923. 答案：D 2解析：S2 014(12)(34)(2 0132 014)1 007. 答案：A 3解析：設(shè)出等差數(shù)列的公差,根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)列方程求解 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3a12d,a5a14d, (a12d3)2(a11)(a14d5),解得d1, qa33a11a123a111. 答案：1 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1數(shù)列 an1n（n1）,其前 n 項(xiàng)之和為910,則項(xiàng)數(shù) n 為( ) A12 B11 C10 D9 1D 2. 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 1,公比為 q,前 n 項(xiàng)和為 Sn,則數(shù)列1an的前 n 項(xiàng)和為( ) A.1Sn BSnqn1 CSnq1n D.qnSn 2解析：數(shù)列1an的首項(xiàng)為 1,公比為1q,它的前n項(xiàng)和為Tn11qn11qqn1qn1（q1）,又Sn1qn1q, Tn1qn1Snq1nSn.故選 C. 答案：C 3數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an1n n1,則該數(shù)列的前_項(xiàng)之和等于 9.( ) A99 B98 C97 D96 3解析：an1nn1 n1n（n1n）（n1n）n1n, Sna1a2a3an ( 2 1)( 3 2)(n1n) n11. 令n119n1100,n99.故選 A. 答案：A 4等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,已知 S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則數(shù)列an的公比 q 為_ 4解析：設(shè)an的公比為q,由題意知 4S2S13S3,若q1,則 8a1a19a1,a10,不合題意； 若q1,則 4(1q2)(1q)3(1q3), 即(q1)(3q1)0,q13. 答案：13 5. 求和：112314518（2n1）12n1_ 5解析：Sn113（2n1） (121412n1)n22n212n1. 答案：n22n212n1 鞏固提高 6 (2014天津卷)設(shè)an是首項(xiàng)為 a1,公差為1 的等差數(shù)列,Sn為其 n 項(xiàng)和 若 S1,S2,S4成等比數(shù)列,則 a1的值為_ 6解析：依題意得S22S1S4,所以(2a11)2a1(4a16),解得a112. 答案：12 7(2014大綱全國卷)等比數(shù)列an中,a42,a55,則數(shù)列l(wèi)g an的前 8 項(xiàng)和等于( ) A6 B5 C4 D3 7解析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算法則求解 數(shù)列l(wèi)g an的前 8 項(xiàng)和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44. 答案：C 8已知數(shù)列an中,a11,an1anan1an,則數(shù)列通項(xiàng) an_ 8解析：由an1anan1an11an1an1 1an11an1. 數(shù)列1an是首項(xiàng)為1,公差為1 的等差數(shù)列, 1an1(n1)(1)n, an1n(nN*) 答案：1n(nN*) 9(2014江西卷)已知首項(xiàng)都是 1 的兩個(gè)數(shù)列an,bn(bn0,nN*),滿足anbn1an1bn2bn1bn0. (1)令cnanbn,求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式； (2)若bn3n1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. 9解析：(1)因?yàn)閍nbn1an1bn2bn1bn0,bn0,nN*, 所以an1bn1anbn2,cn1cn2, 所以數(shù)列cn是以首項(xiàng)c11,公差d2 的等差數(shù)列,故cn2n1(nN*) (2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1, 于是數(shù)列an前n項(xiàng)和 Sn130331(2n1)3n1, 3Sn131332(2n1)3n, 相減得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n, 所以Sn(n1)3n1. 10. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an6n5 ，n為奇數(shù)，4n，n為偶數(shù)，求Sn. 10解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), Sn113(6n5)(42444n1) （16n5）2n1242（4n11）421 （n1）（6n4）44n11615 （n1）（3n2）24n11615. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Sn113(6n11)(42444n14n)n（3n5）24n21615. 1數(shù)列是特殊的函數(shù),有些題目可結(jié)合函數(shù)知識(shí)去解決,體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想 2等差、等比數(shù)列中,a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”,體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想,有時(shí)用到換元法 3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)要考慮公比是否等于 1,公比是字母時(shí)要進(jìn)行討論,體現(xiàn)了分類討論的思想 4數(shù)列求和的基本方法有：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法、累加法、等價(jià)轉(zhuǎn)化等