人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 1.2.1 平面距離問(wèn)題練習(xí) 新人教 A 版必修 5 基礎(chǔ)梳理 1(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中,把視線在水平線上方的角稱為仰角,視線在水平線下方的角稱為俯角,如圖 1 所示 (2)方位角：從指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角,如方位角是 45,指北偏東 45,即東北方向 (3)方向角：從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角,如南偏西 60,即以正南方向?yàn)槭歼?順時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn) 60,如圖 2 所示 (4)李強(qiáng)出校門(mén)向東,前進(jìn) 200 米,再向北走 200 米便回到家中,李強(qiáng)家在學(xué)校的哪個(gè)方向？ 2地面上三個(gè)點(diǎn) A、B、C,若 B 在 A 正北方向上,C 在 A 北偏東 20方向上,C 在 B 東偏北 25方向上,則 C 在 A 東偏北_方向上,C 在 B 北偏東_方向上,A 在 C 西偏南_方向上,B 在 C 西偏南_方向上,B 在 C 南偏西_方向上 3(1)山下 B 點(diǎn)望山上 A 點(diǎn)仰角為 30,則山上 A 點(diǎn)望山下 B 點(diǎn)俯角為_(kāi) (2)方位角是指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向的水平角若水平面上點(diǎn) A 處測(cè)得點(diǎn) B 的方位角是 120,則點(diǎn) B 在點(diǎn) A 東偏南_方向上 基礎(chǔ)梳理 1(4)東偏北 45 度方向 200 2米處 270 65 70 25 65 3(1)30 (2)30 自測(cè)自評(píng) 1若水平面上點(diǎn) B 在點(diǎn) A 南偏東 30方向上,則點(diǎn) A 處測(cè)得點(diǎn) B 的方位角是( ) A60 B120 C150 D210 2海上有 A、B 兩個(gè)小島相距 10 n mile,從 A 島望 C 島和 B 島成 60的視角,從 B 島望C 島和 A 島成 75的視角,則 B、C 間的距離是( ) A10 3 n mile B.10 63 n mile C5 2 n mile D5 6 n mile 3 已知兩座燈塔 A 和 B 與海洋觀察站 C 的距離相等,燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 40,燈塔 B 在觀察站 C 的南偏東 60,則燈塔 A 在燈塔 B 的_ 解析：如下圖所示,點(diǎn) B 的方位角是 18030150.故選C. 答案：C 2D 3解析：如圖,ACBC, CABCBA. 又ACB180406080, CABCBA50. 故 A 在 B 的北偏西 10的方向 答案：北偏西 10 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1有一長(zhǎng)為 1 公里的斜坡,它的傾斜角為 20,現(xiàn)要將傾斜角改成 10,則斜坡長(zhǎng)為( ) A1 B2sin 10 C2cos 10 Dcos 20 解析：原來(lái)的斜坡、覆蓋的地平線及新的斜坡構(gòu)成等腰三角形,這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)就是所求 答案：C 2 甲騎電動(dòng)自行車(chē)以 24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點(diǎn) A 處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東 30方向上,15 min后到點(diǎn) B 處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東 75方向上,則電動(dòng)車(chē)在點(diǎn) B 時(shí)與電視塔 S 的距離是( ) A6 km B3 3 km C3 2 km D3 km 2C 3如圖所示,為了測(cè)定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn) A、B,望對(duì)岸標(biāo)記物 C,測(cè)得CAB30,CBA75,AB120 m,則河的寬度為_(kāi) 360 m 4在ABC 中,若 C90,a6,c10,則 AB 邊上的高等于( ) A.125 B.485 C.65 D.245 4解析：如下圖所示,RtABC中,b 102628,AB邊上的高h(yuǎn)6810245.故選 D. 答案：D 5.等腰三角形一腰上的高是 3,底邊長(zhǎng)為 2 3,則這條高與底邊的夾角為( ) A30 B45 C60 D75 5解析：如下圖所示,等腰三角形ABC的腰AB邊上的高CH 3,而底邊BC2 3, cos BCH32 312, 0HCB90,HCB60.故選 C. 答案：C 6.設(shè) A、B 兩點(diǎn)在河的兩岸,要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離,測(cè)量者在 A 的同側(cè),在河岸邊選定一點(diǎn) C,測(cè)出 AC 的距離是 100 m,BAC60,ACB30,則 A、B 兩點(diǎn)的距離為( ) A40 m B50 m C60 m D70 m 6解析：如下圖所示,ABC是 Rt,AB12AC, AB50 m故選 B. 答案：B 鞏固提高 7 兩燈塔 A、 B 與海洋觀察站 C 的距離都等于 2 2 km,燈塔 A 在觀察站 C 的北偏東 30,燈塔 B 在觀察站 C 南偏東 60,則 A、B 之間的距離為( ) A2 km B3 km C4 km D5 km 7解析：如下圖所示,ACB90,又ACBC2 2, 在ABC中由勾股定理得： ABAC2BC2 884.故選 C. 答案：C 8.如右圖所示,A、B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá)),在河岸邊選定兩點(diǎn) C、D,測(cè)得 CD100 m,并且在 C、D 兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA60,ACD30,CDB45,BDA60,則A、B 兩點(diǎn)的距離為( ) A50 6 m B100 6 m C100 3 m D100 2 m 8A 9.某船在海上航行中不幸遇險(xiǎn),并發(fā)出呼救信號(hào),我海上救生艇在 A 處獲悉后,立即測(cè)出該船的方位角為 45,在與之相距 10 海里的 C 處,還測(cè)得該船正沿方位角 105的方向以每小時(shí) 9 海里的速度向一小島靠近,我海上救生艇立即以每小時(shí) 21 海里的速度前往營(yíng)救,試求出該海上救生艇的航向及與呼救船相遇所需時(shí)間 9解析：如圖所示,設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí),在點(diǎn)B處相遇, 在ABC中,AC10,AB21t,BC9t, ACB360135105120. 由余弦定理： (21t)2102(9t)22109tcos 120, 整理得：36t29t100, 解得：t123,t2512(舍去), 由正弦定理得： ABsin 120BCsin CAB sin CAB9233221233 314, CAB2147, 故該海上救生艇的航向?yàn)楸逼珫| 6647,與呼救船相遇所需時(shí)間為23小時(shí) 10如下圖所示,當(dāng)甲船位于 A 處時(shí)獲悉,在其正東方方向相距 20 海里的 B 處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救 甲船立即前往救援, 同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西 30,相距 10 海里 C處的乙船,試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救援(角度精確到 1)? 10解析：在ABC中,由余弦定理得： BC220210222010cos 120700. 于是,BC10 7. sinACB20sin 12010 7,sin ACB37, ACB90,ACB41. 乙船應(yīng)朝北偏東 71方向沿直線前往B處救援 1解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題一般要充分理解題意,正確作出圖形,從中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、 角,然后解三角形,得到實(shí)際問(wèn)題的解 2解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟 (1)分析：理解題意,分清已知與未知,畫(huà)出示意圖 (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型 (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解 (4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否有實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 3平面上兩點(diǎn)的距離測(cè)量問(wèn)題一般有如下幾類情況： (1)A、B 兩點(diǎn)在河的兩岸,一點(diǎn)可到達(dá),另一點(diǎn)不可到達(dá)方法是在可到達(dá)一側(cè)再找一點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量 (2)A、B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))方法是在可到達(dá)一側(cè)找兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量 (3)A、B 兩點(diǎn)不可到達(dá)(如隔著一座山或建筑)方法是找一點(diǎn)可同時(shí)到達(dá) A、B 兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量