人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形章末知識(shí)整合 新人教A版必修5一、本章的中心內(nèi)容如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上通過(guò)本章的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題2能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際生活問(wèn)題3本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理,它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論在初中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性知識(shí),就是“在任意三角形中有大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角”,“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角相等,那么這兩個(gè)三角形全等”4在此內(nèi)容之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系密切的內(nèi)容,對(duì)于余弦定理的證明,常用的方法是借助于三角的方法,需要對(duì)三角形進(jìn)行討論,方法不夠簡(jiǎn)潔,用了向量的方法,發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力5勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是銳角從上可知,余弦定理是勾股定理的推廣二、學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的應(yīng)用數(shù)學(xué)能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去,通過(guò)觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,確定解決問(wèn)題的科學(xué)思維方法,學(xué)會(huì)把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際1正弦定理可建立邊角關(guān)系,角的正弦越大所對(duì)的邊就越長(zhǎng)2由正弦值得出角的大小時(shí)特別要注意是一個(gè)解還是兩個(gè)解一般地,解三角形時(shí),只有當(dāng)A為銳角且bsin Aab時(shí),有兩解；其他情況時(shí)則只有一解或無(wú)解3利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角4把a(bǔ)ksin A,bksin B代入已知等式可將邊角關(guān)系全部轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系5余弦定理是三角形邊角之間的共同規(guī)律,勾股定理是余弦定理的特例6余弦定理的應(yīng)用范圍是：已知三邊,求三角；已知兩邊及一個(gè)內(nèi)角,求第三邊7解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)分析：理解題意,分清已知與未知,畫(huà)出示意圖(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否有實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解8平面上兩點(diǎn)的距離測(cè)量問(wèn)題一般有如下幾類情況：(1)A、B兩點(diǎn)都在河的兩岸,一點(diǎn)可到達(dá),另一點(diǎn)不可到達(dá)方法是可到達(dá)一側(cè)再找一點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量(2)A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))方法是在可到達(dá)一側(cè)找兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量(3)A、B兩點(diǎn)不可到達(dá)(如隔著一座山或建筑)方法是找一點(diǎn)可同時(shí)到達(dá)A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量9利用正弦定理和余弦定理來(lái)解高度問(wèn)題時(shí),要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素,進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化10測(cè)量高度的一般方法是選擇能觀察到測(cè)量物體的兩點(diǎn),分別測(cè)量仰角或俯角,同時(shí)測(cè)量出兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的距離,再利用解三角形的方法進(jìn)行計(jì)算11求三角形的面積的問(wèn)題,先觀察已知什么,尚缺什么,用正弦定理、余弦定理求出需要的元素,就可以求出三角形的面積12利用正弦定理、余弦定理、面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組是解決復(fù)雜問(wèn)題的常見(jiàn)思路,將方程化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式,然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系題型1利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三個(gè)獨(dú)立元素(至少一條邊)求出其他元素的過(guò)程,三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑),解三角形通常是指求未知的元素,有時(shí)也求三角形的面積解斜三角形包括四種類型：已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦定理求邊)；已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊)；已知三邊(先用余弦定理求角)；已知兩邊和一邊的對(duì)角(先用正弦定理求另一邊的對(duì)角或先用余弦定理求第三邊,注意討論解的個(gè)數(shù))例1 在ABC中,c4,b7,BC邊上的中線AD長(zhǎng)為,求a.解析：如圖,設(shè)CDDBx,在ACD中,cos C,在ACB中,cos C,所以.解得x.所以a2x29.例2 如圖,四邊形ABCD中,BC120,AB4,BCCD2,則該四邊形的面積等于_解析：由余弦定理得BD22222222cos 12012,BD2.BCCD2,C120,CBD30,ABD90,S四邊形ABCDSABDSBCD42sin 9022sin 1205.答案：5題型2利用正、余弦定理判定三角形的形狀判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過(guò)正弦定理和余弦定理化邊為角,如a2Rsin A,a2b2c22abcos C等,再利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷,此時(shí)注意一些常見(jiàn)的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系,如sin Asin BAB,sin(AB)0AB,sin 2Asin 2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊,如sin A,cos A等,通過(guò)代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷例3在ABC中,若B60,2bac,試判斷ABC的形狀解析：方法一由正弦定理可得2sin Bsin Asin C,B60,AC120,A120C,將其代入上式,得2sin 60sin(120C)sin C,展開(kāi)整理,得sin Ccos C1,sin(C30)1,C3090.C60,故A60,ABC是正三角形方法二由余弦定理可得b2a2c22accos B,B60,b,a2c22accos 60.(ac)20,ac,abc,ABC為正三角形題型3三角形解的個(gè)數(shù)的確定(1)利用正弦定理討論：若已知a,b,A,由正弦定理,得sin B.若sin B1,則無(wú)解；若sin B1,則有一解；若sin B1,則可能有兩解(2)利用余弦定理討論：已知a,b,A,由余弦定理a2c2b22cbcos A,即c2(2bcos A)cb2a20.若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解,則三角形無(wú)解；若方程有唯一正數(shù)解,則三角形有一解；若方程有兩個(gè)不同正數(shù)解,則三角形有兩解例4 在ABC中,若a2,A30,則b為何值時(shí),三角形有一解,兩解,無(wú)解？解析：由正弦定理得：當(dāng)bsin Aab時(shí),有兩解,此時(shí)2b4；當(dāng)ab時(shí)或B為90(b為斜邊)時(shí),有一解,此時(shí)b2或b4；當(dāng)absin A時(shí)無(wú)解,此時(shí)b4.題型4正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例5 如圖,為了解某海域海底構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,已知AB50 m,BC120 m,于A處測(cè)得水深A(yù)D80 m,于B處測(cè)得水深BE200 m,于C處測(cè)得水深CF110 m,求DEF的余弦值解析：如下圖,作DMAC交BE于N,交CF于M,DF10,DE130,EF150.在DEF中,由余弦定理得：cosDEF.