高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時作業(yè) 一、選擇題 1如果命題 p(n)對 nk(kN*)成立，則它對 nk2 也成立若 p(n)對 n2 也成立，則下列結(jié)論正確的是 ( ) Ap(n)對所有正整數(shù) n 都成立 Bp(n)對所有正偶數(shù) n 都成立 Cp(n)對所有正奇數(shù) n 都成立 Dp(n)對所有自然數(shù) n 都成立 B 由題意 nk 成立，則 nk2 也成立，又 n2 時成立，則 p(n)對所有正偶數(shù)都成立 2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1121412n112764(nN*)成立，其初始值最小應(yīng)取 ( ) A7 B8 C9 D10 B 可逐個驗(yàn)證，n8 成立 3(20 xx 海南三亞二模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步 nk 時等式成立，則當(dāng) nk1 時，應(yīng)得到 ( ) A12222k22k12k11 B12222k2k12k12k1 C12222k12k12k11 D12222k12k2k11 D 由條件知，左邊是從 20，21一直到 2n1都是連續(xù)的，因此當(dāng) nk1 時，左邊應(yīng)為 12222k12k，而右邊應(yīng)為 2k11. 4凸 n 多邊形有 f(n)條對角線，則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù) f(n1)為 ( ) Af(n)n1 Bf(n)n Cf(n)n1 Df(n)n2 C 邊數(shù)增加 1，頂點(diǎn)也相應(yīng)增加 1 個，它與和它不相鄰的 n2 個頂點(diǎn)連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加 n1 條 5在數(shù)列an中，a113，且 Snn(2n1)an，通過求 a2，a3，a4，猜想 an的表達(dá)式為 ( ) A.1（n1）（n1） B.12n（2n1） C.1（2n1）（2n1） D.1（2n1）（2n2） C 由 a113，Snn(2n1)an求得 a2115135， a3135157，a4163179. 猜想 an1（2n1）（2n1）. 6下列代數(shù)式(其中 kN*)能被 9 整除的是 ( ) A66 7k B27k1 C2(27k1) D3(27k) D (1)當(dāng) k1 時，顯然只有 3(27k)能被 9 整除 (2)假設(shè)當(dāng) kn(nN*)時，命題成立， 即 3(27n)能被 9 整除， 那么 3(27n1)21(27n)36. 這就是說，kn1 時命題也成立 由(1)(2)可知，命題對任何 kN*都成立 二、填空題 7用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng) n 為正奇數(shù)時，xnyn能被 xy 整除” ，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè) n2k1(kN*)命題為真時，進(jìn)而需證 n_時，命題亦真 解析 n 為正奇數(shù)，假設(shè) n2k1 成立后，需證明的應(yīng)為 n2k1 時成立 答案 2k1 8用數(shù)學(xué)歸納法證明 123n2n4 n22，則當(dāng) nk1 時左端應(yīng)在 nk的基礎(chǔ)上加上的項為_ 解析 當(dāng) nk 時左端為 123k(k1)(k2)k2， 則當(dāng) nk1 時，左端為 123k2(k21)(k22)(k1)2， 故增加的項為(k21)(k22)(k1)2. 答案 (k21)(k22)(k1)2 9設(shè)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，且對任意的自然數(shù) n 都有：(Sn1)2anSn，通過計算 S1，S2，S3，猜想 Sn _ 解析 由(S11)2S21得：S112； 由(S21)2(S2S1)S2得：S223； 由(S31)2(S3S2)S3得：S334. 猜想 Snnn1. 答案 nn1 三、解答題 10用數(shù)學(xué)歸納法證明：123252(2n1)213n(4n21) 證明 (1)當(dāng) n1 時，左邊121， 右邊 131(41)1，等式成立 (2)假設(shè)當(dāng) nk(kN*)時等式成立， 即 123252(2k1)213k(4k21) 則當(dāng) nk1 時，123252(2k1)2(2k1)2 13k(4k21)(2k1)2 13k(4k21)4k24k1 13k4(k1)2113k4(2k1)4k24k1 13k4(k1)2113(12k212k38k24k) 13k4(k1)21134(k1)21 13(k1) 4(k1)21 即當(dāng) nk1 時等式也成立 由(1)，(2)可知，對一切 nN*，等式都成立 11已知點(diǎn) Pn(an，bn)滿足 an1anbn1，bn1bn14a2n(nN*)，且點(diǎn) P1的坐標(biāo)為(1，1) (1)求過點(diǎn) P1，P2的直線 l 的方程； (2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于 nN*，點(diǎn) Pn都在(1)中的直線 l 上 解析 (1)由題意得 a11，b11， b2114113，a211313，P213，13. 直線 l 的方程為y1131x1131，即 2xy1. (2)當(dāng) n1 時，2a1b121(1)1 成立 假設(shè) nk(k1 且 kN*)時，2akbk1 成立 則 2ak1bk12akbk1bk1bk14a2k(2ak1)bk12ak12ak12ak1， 當(dāng) nk1 時，2ak1bk11 也成立 由知，對于 nN*，都有 2anbn1，即點(diǎn) Pn在直線 l 上 12 設(shè)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn， 且方程 x2anxan0 有一根為 Sn1， n1， 2，3. (1)求 a1，a2； (2)猜想數(shù)列Sn的通項公式，并給出嚴(yán)格的證明 解析 (1)當(dāng) n1 時，x2a1xa10 有一根為 S11a11， 于是(a11)2a1(a11)a10，解得 a112. 當(dāng) n2 時，x2a2xa20 有一根為 S21a212， 于是a2122a2a212a20，解得 a216. (2)由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0， 即 S2n2Sn1anSn0. 當(dāng) n2 時，anSnSn1， 代入上式得 Sn1Sn2Sn10. 由(1)得 S1a112，S2a1a2121623. 由可得 S334.由此猜想 Snnn1，n1，2，3. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論 ()n1 時已知結(jié)論成立 ()假設(shè) nk(k1，kN*)時結(jié)論成立，即 Skkk1， 當(dāng) nk1 時，由得 Sk112Sk， 即 Sk1k1k2，故 nk1 時結(jié)論也成立 綜上，由()()可知 Snnn1對所有正整數(shù) n 都成立