高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第三節(jié)第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應用平面向量的數(shù)量積及其應用 考綱傳真 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式， 會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題 (對應學生用書第 61 頁) 基礎知識填充 1向量的夾角 (1)定義：已知兩個非零向量a a和b b，如圖 431，作OAa a，OBb b，則AOB(0180)叫作a a與b b的夾角 圖 431 (2)當0時，a a與b b共線同向 當180時，a a與b b共線反向 當90時，a a與b b互相垂直 2平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個非零向量a a和b b，它們的夾角為，則數(shù)量|a a|b b|cos 叫做a a與b b的數(shù)量積(或內積)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0. (2)幾何意義：數(shù)量積a ab b等于a a的長度|a a|與b b在a a的方向上的投影|b b|cos 的乘積或b b的長度|b b|與a a在b b方向上射影|a a|cos 的乘積 3平面向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a ab bb ba a； (2)數(shù)乘結合律：(a a)b b(a ab b)a a(b b)； (3)分配律：a a(b bc c)a ab ba aC C 4平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示 設非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a，b b 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a a|a aa a |a a|x21y21 數(shù)量積 a ab b|a a|b b|cos a ab bx1x2y1y2 夾角 cos a ab b|a a|b b| cos x1x2y1y2x21y21x22y22 a ab b a ab b0 x1x2y1y20 |a ab b|與|a a|b b|的關系 |a ab b|a a|b b| |x1x2y1y2|x21y21x22y22 知識拓展 1兩個向量a a，b b的夾角為銳角abab0 且a a，b b不共線； 兩個向量a a，b b的夾角為鈍角abab0 且a a，b b不共線 2平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a ab b)(a ab b)a a2b b2. (2)(a ab b)2a a22a ab bb b2. (3)(a ab b)2a a22a ab bb b2. 3當a a與b b同向時，abab|a|ba|b|； 當a a與b b反向時，abab|a|ba|b|. 基本能力自測 1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的運算結果是向量( ) (2)由a ab b0，可得a a0 或b b0.( ) (3)由a ab ba ac c及a a0 不能推出b bC C( ) (4)在四邊形ABCD中，ABDC且ACBD0，則四邊形ABCD為矩形. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(20 xx全國卷)已知向量BA12，32，BC32，12，則ABC( ) A30 B45 C60 D120 A A 因為BA12，32，BC32，12，所以BABC343432.又因為BABC|BA|BC|cosABC11cosABC，所以 cosABC32.又 0ABC180，所以ABC30.故選 A 3(20 xx全國卷)向量a a(1，1)，b b(1,2)，則(2a ab b)a a( ) A1 B0 C1 D2 C C 法一：a a(1，1)，b b(1,2)，a a22，a ab b3， 從而(2a ab b)a a2a a2a ab b431. 法二：a a(1，1)，b b(1,2)， 2a ab b(2，2)(1,2)(1,0)， 從而(2a ab b)a a(1,0)(1，1)1，故選 C 4(教材改編)已知|a a|5，|b b|4，a a與b b的夾角120，則向量b b在向量a a方向上的投影為_ 2 由數(shù)量積的定義知，b b在a a方向上的投影為|b b|cos 4cos 1202. 5(20 xx全國卷)已知向量a a(1,2)，b b(m,1)若向量a ab b與a a垂直，則m_. 7 7 a a(1,2)，b b(m,1)， a ab b(1m,21)(m1,3) 又a ab b與a a垂直，(a ab b)a a0， 即(m1)(1)320， 解得m7. (對應學生用書第 62 頁) 平面向量數(shù)量積的運算 (1)(20 xx天津高考)已知ABC是邊長為 1 的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE2EF，則AFBC的值為( ) A58 B18 C14 D118 (2)已知正方形ABCD的邊長為 1， 點E是AB邊上的動點， 則DECB的值為_；DEDC的最大值為_. 【導學號：00090135】 (1)B B (2)1 1 (1)如圖所示，AFADDF. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE2EF，所以AD12AB，DF12AC14AC34AC， 所以AF12AB34AC. 又BCACAB， 則AFBC12AB34AC(ACAB) 12ABAC12AB234AC234ACAB 34AC212AB214ACAB. 又|AB|AC|1，BAC60， 故AFBC341214111218.故選 B (2)法一：以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設E(t,0)，t0,1，則DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，1)1. 因為DC(1,0)，所以DEDC(t，1)(1,0)t1， 故DEDC的最大值為 1. 法二：由圖知，無論E點在哪個位置，DE在CB方向上的投影都是CB1，所以DECB|CB|11， 當E運動到B點時，DE在DC方向上的投影最大，即為DC1， 所以(DEDC)max|DC|11. 規(guī)律方法 1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義 2(1)要有“基底”意識，關鍵用基向量表示題目中所求相關向量(2)注意向量夾角的大小，以及夾角0，90，180三種特殊情形 變式訓練 1 (1)已知AB(2,1)，點C(1,0)，D(4,5)，則向量AB在CD方向上的投影為 ( ) A3 22 B3 5 C3 22 D3 5 (2)(20 xx榆林模擬)已知在矩形ABCD中，AB3，BC 3，BE2EC， 點F在邊CD上 若ABAF3，則AEBF的值為( ) 【導學號：00090136】 A0 B8 33 C4 D4 (1)C C (2 2)C C (1)因為點C(1,0)，D(4,5)， 所以CD(5,5)， 又AB(2,1)， 所以向量AB在CD方向上的投影為 |AB|cosAB，CDABCD|CD|155 23 22. (2)由ABAF3 得AB(ADDF)ABDF3， 所以|DF|1，|CF|2， 所以AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC624. 平面向量數(shù)量積的性質 角度 1 平面向量的模 (1)(20 xx合肥二次質檢)已知不共線的兩個向量a a，b b滿足|a ab b|2 且a a(a a2b b)，則|b b|( ) A 2 B2 C2 2 D4 (2)(20 xx西安模擬)已知平面向量a a，b b的夾角為6，且|a a| 3，|b b|2，在ABC中，AB2a a2b b，AC2a a6b b，D為BC的中點，則|AD|_. (1 1)B B (2 2)2 2 (1)由a a(a a2b b)得a a(a a2b b)|a a|22a ab b0.又|a ab b|2，|a ab b|2|a a|22a ab b|b b|24，則|b b|24，|b b|2，故選 B (2)因為AD12(ABAC) 12(2a a2b b2a a6b b) 2a a2b b， 所以|AD|24(a ab b)24(a a22babab b2) 4(322 3cos64)4， 所以|AD|2. 角度 2 平面向量的夾角 (1)已知單位向量e e1與e e2的夾角為，且 cos 13，向量a a3e e12e e2與b b3e e1e e2的夾角為，則 cos _. (2)若向量a a(k,3)，b b(1,4)，c c(2,1)，已知 2a a3b b與c c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_ (1 1)2 2 2 23 3 (2 2) ，9 92 2 9 92 2，3 3 (1)因為a a2(3e e12e e2)2 923212cos 49， 所以|a a|3， 因為b b2(3e e1e e2)2923112cos 18， 所以|b b|2 2， abab(3e e12e e2)(3e e1e e2) 9e e219e e1e e22e e2299111328， 所以 cos abab|a|ba|b|832 22 23. (2)2a a3b b與c c的夾角為鈍角， (2a a3b b)c c0， 即(2k3，6)(2,1)0， 4k660， k3. 又若(2a a3b b)c c，則 2k312，即k92. 當k92時，2a a3b b(12，6)6c c， 即 2a a3b b與c c反向 綜上，k的取值范圍為，9292，3 . 角度 3 平面向量的垂直 (20 xx山東高考)已知向量a a(1，1)，b b(6，4)若a a(ta ab b)，則實數(shù)t的值為_ 5 5 a a(1，1)，b b(6，4)，ta ab b(t6，t4) 又a a(ta ab b)，則a a(ta ab b)0，即t6t40，解得t5. 規(guī)律方法 1.求兩向量的夾角：cos a ab b|a a|b b|，要注意0， 2 兩向量垂直的應用： 兩非零向量垂直的充要條件是：a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|. 3求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： (1)a a2a aa a|a a|2或|a a|a aa a. (2)|a ab b|a ab b2a a22a ab bb b2. (3)若a a(x，y)，則|a a|x2y2. 平面向量與三角函數(shù)的綜合 (20 xx佛山模擬)在平面直角坐標系xOy中， 已知向量m m22，22，n n(sin x，cos x)，x0，2. (1)若mnmn，求 tan x的值； (2)若m m與n n的夾角為3，求x的值 【導學號：00090137】 解 (1)因為m m22，22，n n(sin x，cos x)，mnmn. 所以mnmn0，即22sin x22cos x0， 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因為|m m|n n|1，所以mnmncos312， 即22sin x22cos x12， 所以 sinx412， 因為 0 x2，所以4x44， 所以x46，即x512. 規(guī)律方法 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式， 運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解 (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)的定義域內的有界性，求得值域等 變式訓練 2 (20 xx郴州模擬)已知向量a asin x，32，b b(cos x，1) (1)當abab時，求 tan 2x的值； (2)求函數(shù)f(x)(a ab b)b b在2，0 上的值域 解 (1)abab，a asin x，32，b b(cos x，1) sin x(1)32cos x0， 即 sin x32cos x0， 得 sin x32cos x， tan xsin xcos x32， tan 2x2tan x1tan2x125. (2)a asin x，32，b b(cos x，1)， ababsin xcos x32，b b2cos2x(1)2cos2x1， f(x)(a ab b)b bababb b2sin xcos x32cos2x112sin 2x12(1cos 2x)1222sin2x4. x2，0 ，2x434，4， sin2x41，22， f(x)22sin2x422，12. 故函數(shù)f(x)(a ab b)b b在2，0 上的值域為22，12.