高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題突破練(四)立體幾何中的高考熱點(diǎn)問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第293頁)1如圖7所示，已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)求證：圖7(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中點(diǎn)為N，連接CN，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC.又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)·(2)×22×(2)(4)×(2)0，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FEF，B1FAF.又AFFEF，B1F平面AEF.2(20xx·貴州適應(yīng)性考性)如圖8(1)，在等腰直角三角形ABC中，B90°，將ABC沿中位線DE翻折得到如圖8(2)所示的空間圖形，使二面角A­DE­C的大小為.(1)(2)圖8(1)求證：平面ABD平面ABC；(2)若，求直線AE與平面ABC夾角的正弦值. 解(1)證明：在圖(1)等腰直角三角形ABC中，ABBC，而DE為該三角形的中位線，DEBC，DEAB.由翻折可知DEAD，DEDB，又ADDBD，DE平面ADB，BC平面ADB，又BC平面ABC，平面ABD平面ABC.(2)由(1)可知，ADB為二面角A­DE­C的平面角，即ADB.又ADDB，ADB為等邊三角形如圖，設(shè)O為DB的中點(diǎn)，連接OA，過O作OFBC交BC于點(diǎn)F，則AOBD，OFBD.又AOBC，BDBCB，AO平面BCED.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OF，OA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)BD2，則A(0,0，)，B(1,0,0)，C(1,4,0)，E(1,2,0)，(1,0，)，(1,4，)，(1,2，)設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的法向量，則有即令z1，則x，y0，則n(，0,1)，設(shè)AE與平面ABC的夾角為，則sin .3(20xx·北京海淀區(qū)期末練習(xí))如圖9，在三棱錐P­ABC中，側(cè)棱PA2，底面三角形ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D，ADDB，DB1.圖9(1)求證：AC平面PDB；(2)求二面角P­AB­C的余弦值；(3)線段PC上是否存在點(diǎn)E使得PC平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：因?yàn)锳DDB，且DB1，AB2，所以AD，所以DBA60°.因?yàn)锳BC為正三角形，所以CAB60°，所以DBAC.因?yàn)锳C平面PDB，DB平面PDB，所以AC平面PDB.(2)由點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D可得PD平面ACBD，所以PDDA，PDDB.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可知B(1,0,0)，A(0，0)，P(0,0,1)，C(2，0)所以(1，0)，(1,0,1)平面ABC的一個(gè)法向量n(0,0,1)，設(shè)m(x，y，z)為平面PAB的法向量，則由可得令y1，則x，z，所以平面PAB的一個(gè)法向量m(，1，)，所以cosm，n，由圖可知二面角P­AB­C的平面角為鈍角，所以二面角P­AB­C的余弦值為.(3)由(2)可得(1，0)，(2，1)，因?yàn)?amp;#183;10，所以PC與AB不垂直，所以在線段PC上不存在點(diǎn)E使得PC平面ABE.4(20xx·全國卷)如圖10，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.圖10(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D­AE­C的余弦值解(1)證明：由題設(shè)可得ABDCBD，從而ADCD.又ACD是直角三角形，所以ADC90°.取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DOAC，DOAO.又因?yàn)锳BC是正三角形，故BOAC，所以DOB為二面角D­AC­B的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90°.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知，OA，OB，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得E，故(1,0,1)，(2,0,0)，.設(shè)n(x，y，z)是平面DAE的法向量，則即可取n.設(shè)m是平面AEC的法向量，則同理可取m(0，1，)，則cosn，m.所以二面角D­AE­C的余弦值為.