高考數(shù)學精品復(fù)習資料 2019.5 第三節(jié)第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 考綱傳真 1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間2，2內(nèi)的單調(diào)性 (對應(yīng)學生用書第 42 頁) 基礎(chǔ)知識填充 1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 正弦函數(shù)ysin x，x0,2圖像的五個關(guān)鍵點是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 余弦函數(shù)ycos x，x0,2圖像的五個關(guān)鍵點是：(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1) 2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) ysin x ycos x ytan x 圖像 定義域 R R R R 錯誤錯誤! ! 值域 1,1 1,1 R R 單調(diào)性 在 2k2，2k2(kZ Z)上是增加的； 在 2k2，2k32(kZ Z)上是減少的 在2k， 2k(kZ Z)上是增加的； 在2k， 2k(kZ Z)上是減少的 在k2，k2(kZ Z)上是增加的 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心 對稱中心 對稱中心 (k，0)，kZ Z k2，0 ，kZ Z k2，0 ，kZ Z 對稱軸 xk2，(kZ Z) 對稱軸 xk(kZ Z) 周期性 2 2 知識拓展 1對稱與周期 (1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14個周期 (2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期 2奇偶性 若f(x)Asin(x)(A，0)，則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是2k(kZ Z)； (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ Z) 基本能力自測 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)( ) (2)ysin |x|是偶函數(shù)( ) (3)函數(shù)ysin x的圖像關(guān)于點(k，0)(kZ Z)中心對稱( ) (4)已知yksin x1，xR R，則y的最大值為k1( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(20 xx昆明模擬)函數(shù)f(x)cos2x52的圖像關(guān)于( ) A原點對稱 By軸對稱 C直線x52對稱 D直線x52對稱 A A 函數(shù)f(x)cos2x52sin 2x是奇函數(shù)，則圖像關(guān)于原點對稱，故選 A 3函數(shù)ytan 2x的定義域是( ) Ax xk4，kZ Z Bx xk28，kZ Z Cx xk8，kZ Z Dx xk24，kZ Z D D 由 2xk2，kZ Z，得xk24，kZ Z， ytan 2x的定義域為x xk24，kZ Z. 4(20 xx長沙模擬)函數(shù)ysin12x3，x2，2的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A2，53 B2，53和3，2 C53，3 D3，2 C C 令z12x3，函數(shù)ysin z的單調(diào)遞增區(qū)間為2k2，2k2(kZ Z)，由2k212x32k2得 4k53x4k3，而x2，2，故其單調(diào)遞增區(qū)間是53，3，故選 C 5(教材改編)函數(shù)f(x)42cos 13x的最小值是_，取得最小值時，x的取值集合為_ 【導(dǎo)學號：00090091】 2 x|x6k，kZ Z f(x)min422，此時，13x2k(kZ Z)，x6k(kZ Z)，所以x的取值集合為x|x6k，kZ Z (對應(yīng)學生用書第 43 頁) 三角函數(shù)的定義域與值域 (1)(20 xx全國卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos2x的最大值為( ) A4 B5 C6 D7 (2)函數(shù)ylg(sin 2x) 9x2的定義域為_ (1 1)B B (2 2) 3 3，20，2 (1)f(x)cos 2x6cos2xcos 2x6sin x 12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，當 sin x1 時，f(x)取得最大值 5.故選 B (2)由 sin 2x0，9x20，得 kxk2，kZ Z，3x3， 3x2或 0 x2， 函數(shù)ylg(sin 2x) 9x2的定義域為3，20，2. 規(guī)律方法 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)， 常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解 2求三角函數(shù)最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x和 cos x的值域求解 (2)化一法：把所給三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域 (3)換元法：把 sin x，cos x，sin xcos x或 sin xcos x換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解 變式訓(xùn)練 1 (1)已知函數(shù)y2cos x的定義域為3， ，值域為a，b，則ba的值是( ) A2 B3 C 32 D2 3 (2)求函數(shù)ycos2xsin x|x|4的最大值與最小值 (1)B B x3， ，cos x1，12，y2cos x的值域為2,1， ba3. (2)令tsin x，|x|4，t22，22， 3 分 yt2t1t12254， 當t12時，ymax54，當t22時，ymin1 22， 7 分 函數(shù)ycos2xsin x|x|4的最大值為54，最小值為1 22. 12 分 三角函數(shù)的單調(diào)性 (1)(20 xx洛陽模擬)已知0， 函數(shù)f(x)sinx4在2， 上單調(diào)遞減，則的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學號：00090092】 A12，54 B12，34 C0，12 D(0,2 (2)函數(shù)f(x)sin2x3的單調(diào)減區(qū)間為_ (1 1)A A (2)k12，k512(kZ Z) (1)由2x 得24x44， 由 題 意 知24， 42，32， 所 以 242，432，解得1254. (2)由已知函數(shù)為ysin2x3，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求ysin2x3的單調(diào)增區(qū)間即可 由 2k22x32k2，kZ Z， 得k12xk512，kZ Z. 故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為k12，k512(kZ Z) 規(guī)律方法 1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡化原則， 將解析式先化簡， 并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減” (2)求形如yAsin(x)(0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解若0，應(yīng)先用誘導(dǎo)公式化x的系數(shù)為正數(shù)，以防止把單調(diào)性弄錯 2已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解 變式訓(xùn)練 2 (1)函數(shù)f(x)tan2x3的單調(diào)遞增區(qū)間是_ (2)若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間0，3上是增加的，在區(qū)間3，2上是減少的，則_. (1)k212，k2512(kZ Z) (2)32 (1)由2k2x32k(kZ Z)， 得k212xk2512(kZ Z) (2)f(x)sin x(0)過原點， 當 0 x2，即 0 x2時，ysin x是增函數(shù)； 當2x32，即2x32時，ysin x是減函數(shù) 由f(x)sin x(0)在0，3上是增加的， 在3，2上是減少的知，23，32. 三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性 角度 1 奇偶性與周期性的判斷 (1)(20 xx大連模擬)在函數(shù)：ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期為 的所有函數(shù)為( ) 【導(dǎo)學號：00090093】 A B C D (2)函數(shù)y12sin2x34是( ) A最小正周期為 的奇函數(shù) B最小正周期為 的偶函數(shù) C最小正周期為2的奇函數(shù) D最小正周期為2的偶函數(shù) (1)C C (2)A A (1)ycos|2x|cos 2x，T. 由圖像知，函數(shù)的周期T. T. T2. 綜上可知，最小正周期為 的所有函數(shù)為. (2)y12sin2x34cos 2x34sin 2x，所以f(x)是最小正周期為 的奇函數(shù) 角度 2 求三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心 已知函數(shù)f(x)sin(x)0，|2的最小正周期為 4，且對任意xR R，都有f(x)f3成立，則f(x)圖像的一個對稱中心的坐標是( ) A23，0 B3，0 C23，0 D53，0 A A 由f(x)sin (x)的最小正周期為 4，得12.因為f(x)f3恒成立，所以f(x)maxf3， 即12322k(kZ Z)， 所以32k(kZ Z)，由|2， 得3，故f(x)sin12x3. 令12x3k(kZ Z)， 得x2k23(kZ Z)，故f(x)圖像的對稱中心為2k23，0 (kZ Z)，當k0 時，f(x)圖像的一個對稱中心的坐標為23，0 ，故選 A 角度 3 三角函數(shù)對稱性的應(yīng)用 (1)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖像關(guān)于點43，0 中心對稱， 那么|的最小值為( ) A6 B4 C3 D2 (2)已知函數(shù)f(x)sin xacos x的圖像關(guān)于直線x53對稱，則實數(shù)a的值為 ( ) A 3 B33 C 2 D22 (1 1)A A (2 2)B B (1)由題意得 3cos243 3cos232 3cos230， 23k2，kZ Z， k6，kZ Z，取k0，得|的最小值為6. (2)由x53是f(x)圖像的對稱軸，可得f(0)f103， 即 sin 0acos 0sin103acos103，解得a33. 規(guī)律方法 1.對于函數(shù)yAsin(x)，其對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0,0)是不是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷 2求三角函數(shù)周期的方法： (1)利用周期函數(shù)的定義 (2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為2|，ytan(x)的最小正周期為|. (3)借助函數(shù)的圖像