高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第六節(jié)正弦定理和余弦定理 考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第50頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C公式變形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2. 在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aababab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3. 三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)知識(shí)拓展1三角形內(nèi)角和定理在ABC中，ABC；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sincos ；(4)cossin .3在ABC中，sin Asin BABabcosAcos BABab基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在ABC中，若AB，則必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，則B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯(cuò)誤由cos A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形(3)錯(cuò)誤由ba知，BA(4)正確利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知結(jié)論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形3(20xx全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故選D4(20xx全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，C已知C60，b，c3，則A_.75如圖，由正弦定理，得，sin B.又c>b，B45，A180604575.5在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積等于_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090109】2由題意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第51頁(yè))利用正、余弦定理解三角形(1)(20xx全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，C已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()ABCD(2)在ABC中，BAC，AB6，AC3，點(diǎn)D在BC邊上，ADBD，求AD的長(zhǎng)B(1)因?yàn)閍2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A.由A知C為銳角，故C.故選B(2)設(shè)ABC的內(nèi)角BAC，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由題設(shè)知0B，所以cos B.在ABD中，因?yàn)锳DBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.規(guī)律方法1.正弦定理是一個(gè)連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目的2(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，求該三角形的其它邊角的問(wèn)題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用變式訓(xùn)練1(1)(20xx鄭州模擬)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，則角B的大小為()A30B45C60D120(2)(20xx全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.(1)A(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2aC又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判斷三角形的形狀(1)(20xx東北三省四市二聯(lián))在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，滿足acos Abcos B，則ABC的形狀為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090110】A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(20xx廣州模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2c2a2bc，若sin Bsin Csin2A，則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因?yàn)閍cos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0，)，A.由sin Bsin Csin2A得bca2，代入b2c2a2bc得(bc)20，即bc，從而ABC是等邊三角形規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁2無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能變式訓(xùn)練2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因?yàn)锳B，所以AB法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2aB與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題(20xx全國(guó)卷)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B2sin Asin C(1)若ab，求cos B；(2)設(shè)B90，且a，求ABC的面積解(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22aC2分又ab，可得b2c，a2C由余弦定理可得cos B.5分(2)由(1)知b22aC7分因?yàn)锽90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，進(jìn)而可得ca.9分所以ABC的面積為1.12分規(guī)律方法三角形面積公式的應(yīng)用方法：(1)對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化變式訓(xùn)練3(20xx全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)C(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長(zhǎng)解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，3分故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以C.5分(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長(zhǎng)為5.12分