高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第三節(jié)統(tǒng)計(jì)圖表、用樣本估計(jì)總體考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)概率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第162頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1常用統(tǒng)計(jì)圖表(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率(3)頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線(4)莖葉圖的畫法：第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的莖按大小次序排成一列；第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè)2樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)通常用于描述出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，顯然它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)(x1x2xn)平均數(shù)和每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s.方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中xi(i1,2,3，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)知識(shí)拓展平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中. ()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次()解析(1)正確平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)(2)錯(cuò)誤方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散(3)正確小矩形的面積組距頻率(4)錯(cuò)誤莖相同的數(shù)據(jù)，葉可不用按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)葉要重復(fù)記錄，故(4)錯(cuò)誤答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖931所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()圖931A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92A這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96.所以中位數(shù)是91.5，平均數(shù)91.5.3(20xx全國(guó)卷)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()Ax1，x2，xn的平均數(shù)Bx1，x2，xn的標(biāo)準(zhǔn)差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位數(shù)B因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差故選B4如圖932所示是一樣本的頻率分布直方圖若樣本容量為100，則樣本數(shù)據(jù)在15,20內(nèi)的頻數(shù)是()圖932A50 B40 C30D14C因?yàn)?5,20對(duì)應(yīng)的小矩形的面積為10.0450.150.3，所以樣本落在15,20的頻數(shù)為0.310030，故選C5某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)動(dòng)員身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖933，已知記錄的平均身高為175 cm，但記錄中有一名運(yùn)動(dòng)員身高的末位數(shù)字不清晰，如果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為_圖9332170(12x451011)175，則(33x)5，即33x35，解得x2.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第163頁(yè))頻率分布直方圖(20xx北京高考)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如圖934所示頻率分布直方圖：圖934(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.020.04)100.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為10.60.4，所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.010.020.040.02)100.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)為1001000.955，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為40020.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.020.04)1010060，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為6030，所以樣本中的男生人數(shù)為30260，女生人數(shù)為1006040，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為604032，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為32.規(guī)律方法頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法(1)組距頻率.(2)頻率，樣本容量，樣本容量頻率頻數(shù).易錯(cuò)警示：繪制頻率分布直方圖時(shí)的3個(gè)注意點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確；(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率.(3)注意中值估算法.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx河南新鄉(xiāng)調(diào)研)統(tǒng)計(jì)新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖935所示(每組含右端點(diǎn)，不含左端點(diǎn))，則新生嬰兒體重在(2 700,3 000克內(nèi)的頻率為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140329】圖935A0.001B0.1C0.2D0.3(2)(20xx山東高考)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖936所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()圖936A56 B60C120D140(1)D(2)D(1)每組的頻率即為相應(yīng)小長(zhǎng)方形的面積，3000.0010.3.(2)由頻率分布直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.160.080.04)2.50.7，則每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7200140.故選D莖葉圖(1)某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)莖葉圖如圖937所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為()圖937A117 B118 C118.5 D119.5(2)(20xx山東高考)如圖938所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()圖938A3,5B5,5C3,7D5,7(1)B(2)A(1)22次考試中，所得分?jǐn)?shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為985642，將分?jǐn)?shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76,76，所以中位數(shù)為76，所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為4276118.(2)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，所以(5665627470x)(5961676578)，所以x3.故選A規(guī)律方法莖葉圖中的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.(2)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.易錯(cuò)警示：莖葉圖中數(shù)字大小排列不一定從小到大排列，一定要看清楚.跟蹤訓(xùn)練下面是甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場(chǎng)次得分的莖葉圖，如圖939所示，下列說(shuō)法不正確的是_(填序號(hào))圖939甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)好于乙運(yùn)動(dòng)員；乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)好于甲運(yùn)動(dòng)員；甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)沒(méi)有明顯的差異；甲運(yùn)動(dòng)員的最低得分為0分由圖可知，甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比較集中，且平均得分大約在30多分，乙運(yùn)動(dòng)員得分也大致對(duì)稱，平均得分在20多分，甲運(yùn)動(dòng)員最低分10分，乙運(yùn)動(dòng)員最低分8分，故正確樣本的數(shù)字特征某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)，其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失??；b，分別表示乙組研發(fā)成功和失敗(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率解(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均數(shù)為甲；方差為s.乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數(shù)為乙；方差為s.因?yàn)榧滓遥瑂s，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組(2)記E恰有一組研發(fā)成功在所抽得的15個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)，共7個(gè)，故事件E發(fā)生的頻率為.將頻率視為概率，即得所求概率為P(E).規(guī)律方法1.平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的中心，是平均水平，而方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動(dòng)大小.進(jìn)行平均數(shù)與方差的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式.2.利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征的方法(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)值.(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).3.熟記求平均數(shù)，方差的公式.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx江西九校聯(lián)考)如圖9310是一名籃球運(yùn)動(dòng)員在最近6場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列關(guān)于該運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()圖9310A中位數(shù)為14B眾數(shù)為13C平均數(shù)為15D方差為19(2)(20xx貴州省適應(yīng)性考試)一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖9311所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()圖9311A13 B12 C11.52 D(1)D(2)D(1)由莖葉圖知，該運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為14，眾數(shù)為13，平均數(shù)為15，方差為(815)2(1315)2(1315)2(1515)2(2015)2(2115)2，所以D錯(cuò)誤，故選D(2)由頻率分布直方圖可得第一組的頻率是0.08，第二組的頻率是0.32，第三組的頻率是0.36，則中位數(shù)在第三組內(nèi)，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為104，選項(xiàng)D正確