高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第五節(jié)橢圓考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第138頁)基礎(chǔ)知識(shí)填充1橢圓的定義把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2知識(shí)拓展1.點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系：(1)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)1.(2)P(x0，y0)在橢圓上1.(3)P(x0，y2)在橢圓外1.2對(duì)于1(ab0)如圖851.圖851則：(1)Sb2tan .(2)|PF1|aex0，|PF2|aex0.(3)ac|PF1|ac.(4)過P(x0，y0)點(diǎn)的切線方程為 1.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形()(5)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓()(6)1(ab0)與1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(20xx浙江高考)橢圓1的離心率是()A BC DB橢圓方程為1，a3，c.e.故選B3(教材改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A1B1C1 D1D橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.4橢圓C：1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則F1AB的周長(zhǎng)為()A12B16C20D24CF1AB的周長(zhǎng)為|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在橢圓1中，a225，a5，所以F1AB的周長(zhǎng)為4a20，故選C5若方程1表示橢圓，則k的取值范圍是_(3,4)(4,5)由已知得解得3k5且k4.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第139頁)橢圓的定義及其應(yīng)用(1)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A1B1C1 D1(2)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且AF1F245，則AF1F2的面積為()A7 BC D(1)D(2)C(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，則a8，c4，b248，故所求的軌跡方程為1.(2)由題意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.|AF1|，SAF1F22.規(guī)律方法1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積、弦長(zhǎng)、最值和離心率等.2.橢圓的定義式必須滿足2a|F1F2|.跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2的周長(zhǎng)為16，則|AF2|_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140284】(2)已知F1、F2是橢圓C：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_.(1)5(2)3(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，ABF2的周長(zhǎng)為16，4a16，a4.則|AF1|AF2|2a8，|AF2|8|AF1|835.(2)設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，Sr1r2b29，b3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)若直線x2y20經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay21B1Cy21或1D以上答案都不對(duì)(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為()A1 B1Cy21 Dy21(1)C(2)A(1)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,1)，(2,0)，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c2，b1，所以a25，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b2，c1，所以a25，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1.規(guī)律方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法與待定系數(shù)法，但基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A0，B0，AB)的形式.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx湖南長(zhǎng)沙一模)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其上、下兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 By21C1 D1(2)已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140285】(1)C(2)1(1)由條件可知bc，a2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選C(2)依題意，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長(zhǎng)|AB|3，點(diǎn)A必在橢圓上，1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1.橢圓的幾何性質(zhì)角度1求離心率的值或范圍(20xx全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A BC DA由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e.故選A角度2根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)已知橢圓1的長(zhǎng)軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A8B7C6D5A橢圓1的長(zhǎng)軸在x軸上，解得6m10.焦距為4，c2m210m4，解得m8.規(guī)律方法(1)求橢圓離心率的方法直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式.跟蹤訓(xùn)練(1)已知橢圓1的離心率為，則k的值為()A21B21C或21 D或21(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)F2，則橢圓C離心率的取值范圍是()A BC D(1)D(2)C(1)當(dāng)94k0，即5k4時(shí)，a3，c29(4k)5k，解得k.當(dāng)94k，即k5時(shí)，a，c2k5，解得k21，所以k的值為或21.(2)如圖所示，線段PF1的中垂線經(jīng)過F2，|PF2|F1F2|2c，即橢圓上存在一點(diǎn)P，使得|PF2|2c.ac2cac.e. 直線與橢圓的位置關(guān)系(20xx東北三省四市模擬(一)已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，1)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：ykx1(k0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B，C，若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求BOC的面積解(1)由題意b1，c，a2b2c23，又橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k21)x26kx0，由原點(diǎn)O到直線l的距離為，得k2，又|BC| 2，SBOC|BC|，BOC的面積為.規(guī)律方法直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率).易錯(cuò)警示：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽視判別式.跟蹤訓(xùn)練已知曲線C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲線過A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上兩點(diǎn)，向量p(x1，y1)，q(x2，y2)，且pq0，若直線MN過點(diǎn)，求直線MN的斜率解(1)由題可知：解得m4，n1.曲線C的方程為y24x21.(2)設(shè)直線MN的方程為ykx，代入橢圓方程y24x21，得(k24)x2kx0，x1x2，x1x2，pq(2x1，y1)(2x2，y2)4x1x2y1y20，0，即k220，k.故直線MN的斜率為.