高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第八節(jié)函數(shù)與方程考綱傳真結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù) (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第24頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解2二分法每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法稱為二分法3二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210知識(shí)拓展1函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)f(b)0”是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)，且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x)，xD在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn)()(4)二次函數(shù)yax2bxc在b24ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)內(nèi)有零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)3(20xx安徽高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函數(shù)；yln x是非奇非偶函數(shù)，yx21是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn)，只有ycos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn)4(20xx江西贛中南五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)3xx2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故選D5函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_函數(shù)f(x)的圖像為直線，由題意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第25頁(yè))函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷(1)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)(2)(20xx唐山模擬)設(shè)x0是方程x的解，則x0所在的范圍是()A BCD(1)A(2)B(1)abc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)；因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)x，因?yàn)閒(0)010，f0，f0.所以由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)x在上存在零點(diǎn)，即x0，故選B規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體題目靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無(wú)法判斷時(shí)，可畫(huà)出圖像判斷變式訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)ln xx2的零點(diǎn)為x0，則x0所在的區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)(20xx衡陽(yáng)模擬)已知x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)x為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)，則g(x0)等于() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090044】A1B2C3D4(1)C(2)B(1)f(x)ln xx2在(0，)上是增函數(shù)，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，f(3)ln 310，x0(2,3)，故選C(2)f(2)ln 210，f(3)ln 30，則x0(2,3)，故g(x0)2.判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(1)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1B2 C3D4(2)(20xx秦皇島模擬)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_(1)B(2)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)(2)當(dāng)x0時(shí)，作函數(shù)yln x和yx22x的圖像，由圖知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，由f(x)0得x，綜上，f(x)有3個(gè)零點(diǎn)規(guī)律方法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：(1)解方程法：所對(duì)應(yīng)方程f(x)0有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)變式訓(xùn)練2(1)(20xx湖北高考)函數(shù)f(x)2sin xsinxx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x，則方程f(x)log3|x|的解的個(gè)數(shù)是()A0B2C4D6(1)2(2)C(1)f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.設(shè)y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出二者的圖像，如圖所示由圖像知，兩個(gè)函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)(2)畫(huà)出周期函數(shù)f(x)和ylog3|x|的圖像，如圖所示，則方程f(x)log3|x|的解的個(gè)數(shù)是4.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(20xx昆明模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上f(x)x，若關(guān)于x的方程f(x)logax有三個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍思路點(diǎn)撥先作出函數(shù)f(x)的圖像，根據(jù)方程有三個(gè)不同的根，確定應(yīng)滿足的條件解由f(x4)f(x)知，函數(shù)的周期為4，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函數(shù)圖像關(guān)于x2對(duì)稱，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三個(gè)不同的根，則滿足如圖，即解得a.故a的取值范圍是(，)規(guī)律方法已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解變式訓(xùn)練3(1)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090045】A(1,3)B(1,2) C(0,3)D(0,2)(2)(20xx山東高考)已知函數(shù)f(x)其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是_(1)C(2)(3，)(1)函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.(2)作出f(x)的圖像如圖所示當(dāng)x>m時(shí)，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則有4mm2<m，即m23m>0.又m>0，解得m>3.