高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考綱傳真1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù) (對應(yīng)學(xué)生用書第18頁) 基礎(chǔ)知識填充1對數(shù)的概念如果a(a0，a1)的b次冪等于N，即abN，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaNb，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logMnlogaM(m，nR且m0)(2)對數(shù)的性質(zhì)alogaNN；logaaNN(a0，且a1)(3)對數(shù)的重要公式換底公式：logbN(a，b0，a，b1，N0)；logab，推廣logablogbclogcdlogaD3對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a10a1圖像性質(zhì)(1)定義域：(0，)(2)值域：R(3)過點(1,0)，即x1時，y0(4)當(dāng)x1時，y0，0x1時，y0(5)當(dāng)x1時，y0，0x1時，y0(6)是(0，)上的增函數(shù)(7)是(0，)上的減函數(shù)4. 反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線yx對稱知識拓展1換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab；(2)logambnlogaB其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖261，作直線y1，則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)故0cd1aB由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大圖261基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)log2x22log2x.()(2)當(dāng)x1時，logax0.()(3)函數(shù)ylg(x3)lg(x3)與ylg(x3)(x3)的定義域相同()(4)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，函數(shù)圖像不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)2已知a2，blog2，c，則()AabcBacbCcbaDcabD0a2201，blog2log210，c1，caB3已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a0，a1)的圖像如圖262，則下列結(jié)論成立的是()圖262Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由圖像可知yloga(xc)的圖像是由ylogax的圖像向左平移c個單位得到的，其中0c1.再根據(jù)單調(diào)性可知0a1.4(教材改編)若loga1(a0，且a1)，則實數(shù)a的取值范圍是()AB(1，)C(1，)DC當(dāng)0a1時，logalogaa1，0a；當(dāng)a1時，logalogaa1，a1.即實數(shù)a的取值范圍是(1，)5(20xx南昌模擬)計算：2log510log5_，2log43_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090033】22log510log5log52，因為log43log23log2，所以2log432log2.(對應(yīng)學(xué)生用書第19頁)對數(shù)的運算(1)設(shè)2a5bm，且2，則m等于()AB10C20D100(2)(20xx太原模擬)已知log7log3(log2x)0，那么x等于()A BCD(1)A(2)D(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.(2)由log7log3(log2x)0得log3(log2x)1，即log2x3，所以x8，所以x.規(guī)律方法1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并2先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算3abNblogaN(a0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化變式訓(xùn)練1(1)(20xx東城區(qū)綜合練習(xí)(二)已知函數(shù)f(x)則f(2log23)的值為()A24B16 C12D8(2)(20xx浙江高考)計算：log2_，2log23log43_.(1)A(2)3(1)32log234，f(2log23)f(3log23)23log238324，故選A(2)log2log2log221；2log23log432log232log4332log4332log23.對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用(1)(20xx河南南陽一模)若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域為y|y1，則函數(shù)yloga|x|的圖像大致是() A BC D(2)(20xx衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是_(1)B(2)(1，)(1)若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域為y|y1，則a1，故函數(shù)yloga|x|的大致圖像如圖所示故選B(2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出yf(x)與yxa的圖像，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng)a1時，直線yxa與ylog2x只有一個交點規(guī)律方法1.在識別函數(shù)圖像時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項2一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解變式訓(xùn)練2(1)(20xx邵陽模擬)若函數(shù)f(x)axkax(a0且a1)在(，)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)loga(xk)的大致圖像是()(2)(20xx合肥模擬)當(dāng)0x時，4xlogax，則a的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號：00090034】A BC(1，)D(，2)(1)B(2)B(1)由題意函數(shù)f(x)axkax(a0且a1)在(，)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，有f(0)0，即01k，k1，根據(jù)增增增，yax是增函數(shù)，a1.那么函數(shù)g(x)loga(x1)(a1)的圖像單調(diào)遞增，恒過(0,0)，故選B(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，當(dāng)a1時不滿足條件，當(dāng)0a1時，畫出兩個函數(shù)在上的圖像，可知fg，即2loga，則a，所以a的取值范圍為.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較對數(shù)值的大小(1)(20xx全國卷)若ab0,0c1，則()AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacb(2)(20xx榆林模擬)設(shè)a60.4，blog0.40.5，clog80.4，則a、b、c的大小關(guān)系是()AabcBcbaCcabDbca(1)B(2)B(1)0c1，當(dāng)ab1時，logaclogbc，A項錯誤；0c1，ylogcx在(0，)上是減少的，又ab0，logcalogcb，B項正確；0c1，函數(shù)yxc在(0，)上是增加的，又ab0，acbc，C項錯誤；0c1，ycx在(0，)上是減少的，又ab0，cacb，D項錯誤(2)因為a60.41，blog0.40.5(0,1)，clog80.40，所以abC角度2解簡單的對數(shù)不等式(1)(20xx哈爾濱模擬)已知函數(shù)f(x)，則不等式f(x)5的解集為()A1,1B(，2(0,4)C2,4D(，20,4(2)(20xx浙江高考)已知a，b>0且a1，b1，若logab>1，則()A(a1)(b1)<0B(a1)(ab)>0C(b1)(ba)<0D(b1)(ba)>0(1)C(2)D(1)由于f(x)，當(dāng)x0時，3log2x5，即log2x2log24，解得0x4，當(dāng)x0時，x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x0，不等式f(x)5的解集為2,4，故選C(2)法一：logab1logaa，當(dāng)a1時，ba1；當(dāng)0a1時，0ba1.只有D正確法二：取a2，b3，排除A，B，C，故選D角度3探究對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)已知函數(shù)f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：00090035】解(1)因為f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，這時f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函數(shù)f(x)的定義域為(1,3)令g(x)x22x3，則g(x)在(1,1)上是增加的，在(1,3)上是減少的又ylog4x在(0，)上是增加的，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)的最小值為0，則h(x)ax22x3應(yīng)有最小值1，即解得a.故存在實數(shù)a使f(x)的最小值為0.規(guī)律方法利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)，要注意以下四點：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是如果需將函數(shù)解析式變形，一定確保其等價性；四是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的