高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5訓(xùn)練目標(biāo)會(huì)用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題訓(xùn)練題型(1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長(zhǎng)度與距離解題策略(1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關(guān)系設(shè)變量，引入?yún)?shù)，列方程求解.1.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)設(shè)，異面直線AC1與CD所成角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求二面角DCB1B的余弦值2(20xx甘肅天水一模)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為梯形，ADBC，AD平面SCD，ADDC2，BC1，SD2，SDC120.(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值3(20xx南昌月考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D為AC的中點(diǎn)，ABB1D.(1)求證：平面ABB1A1平面ABC；(2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上，是否存在點(diǎn)E，使得二面角EB1DB的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由4(20xx太原質(zhì)檢)如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD組合而成的，ADAF，AEAD2.(1)證明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱錐PABCD的高h(yuǎn)，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析立體幾何問題1解(1)由AC3，BC4，AB5得ACB90，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，設(shè)D(x，y，z)，則由，得(33，4，0)，又(3,0,4)，由題意知|cos，|，解得或.(2)由題意得D(，2,0)，(，2,0)，(0,4,4)，設(shè)平面CDB1的法向量為n1，因?yàn)閚10，n10，所以可取n1(4，3,3)；同理，平面CBB1的一個(gè)法向量為n2(1,0,0)，并且n1，n2與二面角DCB1B相等或互補(bǔ)，所以二面角DCB1B的余弦值為|cosn1，n2|.2解如圖，在平面SCD中，過點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則有D(0,0,0)，S(0，1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)(1)設(shè)平面SAB的法向量為n(x，y，z)，(1,2,0)，(2，1，)，n0，n0，取y，得n(2，5)又(0,3，)，設(shè)SC與平面SAB所成角為，則sin|cos，n|，故SC與平面SAB所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面SAD的法向量為m(a，b，c)，(2,0,0)，(0，1，)，則有即取b，得m(0，1)cosn，m，故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.3(1)證明取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OB1.因?yàn)锽1BB1A，所以O(shè)B1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因?yàn)镺D平面B1OD，所以ABOD.由已知條件知，BCBB1，又ODBC，所以O(shè)DBB1.因?yàn)锳BBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以O(shè)D平面ABB1A1.因?yàn)镺D平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，|為單位長(zhǎng)度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，連結(jié)B1C.由題設(shè)知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，設(shè)(01)，由(1，2，(1)，設(shè)平面BB1D的法向量為m(x1，y1，z1)，則得令z11，則x1y1，所以平面BB1D的法向量為m(，1)設(shè)平面B1DE的法向量為n(x2，y2，z2)，則得令z21，則x2，y2，所以平面B1DE的一個(gè)法向量n(，1)設(shè)二面角EB1DB的大小為，則cos，解得.所以在線段CC1上存在點(diǎn)E，使得二面角EB1DB的余弦值為，此時(shí)(負(fù)值舍去)4(1)證明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因?yàn)锳D平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A為原點(diǎn)，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，F(xiàn)(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，其中h為點(diǎn)P到平面ABCD的距離(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，則取x11，則y1z11，所以m(1，1，1)設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量為n(x2，y2，z2)，則取x21，則y21，z21h，所以n(1，1，1h)因?yàn)槎娼荂AFP的余弦值為，所以|cosm，n|，解得h1(負(fù)值舍去)