高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測(cè):第八章 平面解析幾何 課時(shí)作業(yè)55 Word版含答案
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高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測(cè):第八章 平面解析幾何 課時(shí)作業(yè)55 Word版含答案
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)作業(yè)55最值、范圍、證明問題1已知點(diǎn)F為拋物線E:y22px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|3.(1)求拋物線E的方程;(2)已知點(diǎn)G(1,0),延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B,證明:以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切解:(1)由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3,即23,解得p2,所以拋物線E的方程為y24x.(2)證明:因?yàn)辄c(diǎn)A(2,m)在拋物線E:y24x上,所以m2.由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,從而B.又G(1,0),所以kGA,kGB,所以kGAkGB0,從而AGFBGF,這表明點(diǎn)F到直線GA,GB的距離相等,故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切2(20xx湖北黃岡一模)如圖,已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2是橢圓C1:y21的兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓C2:y2經(jīng)過點(diǎn)F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是橢圓C2上異于F1,F(xiàn)2的任意一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓C1的交點(diǎn)分別是A,B和C,D.設(shè)AB,CD的斜率分別為k,k.(1)求證:kk為定值;(2)求|AB|CD|的最大值解:(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)F1,F(xiàn)2是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),故F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)是F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)而點(diǎn)F1,F(xiàn)2是橢圓C2上的點(diǎn),將F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)代入C2的方程得,.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),直線PF1和PF2的斜率分別是k,k(k0,k0),kk又點(diǎn)P是橢圓C2上的點(diǎn),故y,聯(lián)立兩式可得kk,即kk為定值(2)直線PF1的方程可表示為yk(x1)(k0),與橢圓C1的方程聯(lián)立,得到方程組由方程組得(12k2)x24k2x2k220.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.|AB|x1x2|.同理可求得|CD|,則|AB|CD|4,當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)等號(hào)成立故|AB|CD|的最大值等于.3已知以A為圓心的圓(x2)2y264上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,B(2,0),線段BM的垂直平分線交AM于點(diǎn)P,點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程;(2)過A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線l1,l2分別交曲線E于D,E,F(xiàn),G四個(gè)點(diǎn),求|DE|FG|的取值范圍解:(1)連接PB,依題意得|PB|PM|,所以|PB|PA|AM|8,所以點(diǎn)P的軌跡E是以A,B為焦點(diǎn),4為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的橢圓,所以a4,c2,則b2.所以軌跡E的方程是1.(2)當(dāng)直線l1,l2中有一條直線的斜率不存在時(shí),|DE|FG|6814;當(dāng)直線l1的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線l1的方程為yk(x2),D(x1,y1),E(x2,y2),聯(lián)立整理得(34k2)x216k2x16k2480,x1x2,x1x2,|DE|,同理可得|FG|,|DE|FG|,設(shè)tk21,則t>1,所以|DE|FG|,當(dāng)t>1時(shí),易證y在(1,2)上遞增,在(2,)上遞減,所以0<y,所以|DE|FG|的取值范圍是.綜上,|DE|FG|的取值范圍是.1已知橢圓C1:1(a>b>0)與拋物線C2:x22py(p>0)有一個(gè)公共焦點(diǎn),拋物線C2的準(zhǔn)線l與橢圓C1有一坐標(biāo)是(,2)的交點(diǎn)(1)求橢圓C1與拋物線C2的方程;(2)若點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB與橢圓C1分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),求的取值范圍解:(1)拋物線C2的準(zhǔn)線方程是y2,所以2,p4,所以拋物線C2的方程是x28y.由題意知橢圓C1:1(a>b>0)的焦點(diǎn)是(0,2),(0,2),所以c2,2a4,所以a2,所以b2,所以橢圓C1的方程是1.(2)設(shè)點(diǎn)P(t,2),A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),F(xiàn)(x4,y4),拋物線方程可以化為yx2,得yx,所以直線AP的方程為yy1x1(xx1),所以2y1x1t2y1,即y1tx12,同理,直線BP的方程為y2tx22,所以直線AB的方程為ytx2,將直線AB的方程代入橢圓C1的方程得,(t232)x216tx640,則256t2256(t232)>0,且x3x4,x3x4,所以x3x4y3y4x3x4(x3x4)48.因?yàn)?<10,所以的取值范圍是(8,22已知橢圓C:1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2.()求橢圓C的方程;()過動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn)過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.()設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k,證明為定值;()求直線AB的斜率的最小值解:()設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知2a4,2c2,所以a2,b.所以橢圓C的方程為1.()()設(shè)P(x0,y0)(x0>0,y0>0)由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,2m),所以直線PM的斜率k.直線QM的斜率k.此時(shí)3.所以為定值3.()設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)直線PA的方程為ykxm,直線QB的方程為y3kxm.聯(lián)立整理得(2k21)x24mkx2m240.由x0x1,可得x1,所以y1kx1mm.同理x2,y2m.所以x2x1,y2y1mm,所以kAB(6k)由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k2,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取得此時(shí),即m,符合題意所以直線AB的斜率的最小值為.