高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)作業(yè)55最值、范圍、證明問題1已知點(diǎn)F為拋物線E：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)G(1,0)，延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切解：(1)由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)證明：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2.由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切2(20xx湖北黃岡一模)如圖，已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓C1：y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓C2：y2經(jīng)過點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C2上異于F1，F(xiàn)2的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓C1的交點(diǎn)分別是A，B和C，D.設(shè)AB，CD的斜率分別為k，k.(1)求證：kk為定值；(2)求|AB|CD|的最大值解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)，故F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)是F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)而點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓C2上的點(diǎn)，將F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)代入C2的方程得，.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，直線PF1和PF2的斜率分別是k，k(k0，k0)，kk又點(diǎn)P是橢圓C2上的點(diǎn)，故y，聯(lián)立兩式可得kk，即kk為定值(2)直線PF1的方程可表示為yk(x1)(k0)，與橢圓C1的方程聯(lián)立，得到方程組由方程組得(12k2)x24k2x2k220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.同理可求得|CD|，則|AB|CD|4，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)等號(hào)成立故|AB|CD|的最大值等于.3已知以A為圓心的圓(x2)2y264上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，B(2,0)，線段BM的垂直平分線交AM于點(diǎn)P，點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程；(2)過A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線l1，l2分別交曲線E于D，E，F(xiàn)，G四個(gè)點(diǎn)，求|DE|FG|的取值范圍解：(1)連接PB，依題意得|PB|PM|，所以|PB|PA|AM|8，所以點(diǎn)P的軌跡E是以A，B為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的橢圓，所以a4，c2，則b2.所以軌跡E的方程是1.(2)當(dāng)直線l1，l2中有一條直線的斜率不存在時(shí)，|DE|FG|6814；當(dāng)直線l1的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l1的方程為yk(x2)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，聯(lián)立整理得(34k2)x216k2x16k2480，x1x2，x1x2，|DE|，同理可得|FG|，|DE|FG|，設(shè)tk21，則t>1，所以|DE|FG|，當(dāng)t>1時(shí)，易證y在(1,2)上遞增，在(2，)上遞減，所以0<y，所以|DE|FG|的取值范圍是.綜上，|DE|FG|的取值范圍是.1已知橢圓C1：1(a>b>0)與拋物線C2：x22py(p>0)有一個(gè)公共焦點(diǎn)，拋物線C2的準(zhǔn)線l與橢圓C1有一坐標(biāo)是(，2)的交點(diǎn)(1)求橢圓C1與拋物線C2的方程；(2)若點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與橢圓C1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求的取值范圍解：(1)拋物線C2的準(zhǔn)線方程是y2，所以2，p4，所以拋物線C2的方程是x28y.由題意知橢圓C1：1(a>b>0)的焦點(diǎn)是(0，2)，(0,2)，所以c2,2a4，所以a2，所以b2，所以橢圓C1的方程是1.(2)設(shè)點(diǎn)P(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(xiàn)(x4，y4)，拋物線方程可以化為yx2，得yx，所以直線AP的方程為yy1x1(xx1)，所以2y1x1t2y1，即y1tx12，同理，直線BP的方程為y2tx22，所以直線AB的方程為ytx2，將直線AB的方程代入橢圓C1的方程得，(t232)x216tx640，則256t2256(t232)>0，且x3x4，x3x4，所以x3x4y3y4x3x4(x3x4)48.因?yàn)?<10，所以的取值范圍是(8,22已知橢圓C：1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2.()求橢圓C的方程；()過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.()設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k，證明為定值；()求直線AB的斜率的最小值解：()設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知2a4,2c2，所以a2，b.所以橢圓C的方程為1.()()設(shè)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)，所以直線PM的斜率k.直線QM的斜率k.此時(shí)3.所以為定值3.()設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)直線PA的方程為ykxm，直線QB的方程為y3kxm.聯(lián)立整理得(2k21)x24mkx2m240.由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB(6k)由m>0，x0>0，可知k>0，所以6k2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取得此時(shí)，即m，符合題意所以直線AB的斜率的最小值為.