高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)作業(yè)52橢圓一、選擇題1已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6C4 D12解析：由橢圓的定義知：|BA|BF|CA|CF|2a(F是橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn))，周長(zhǎng)為4a4.答案：C2橢圓1的離心率為，則k的值為()A21 B21C或21 D.或21解析：若a29，b24k，則c，由，即，解得k；若a24k，b29，則c，若，即，解得k21.答案：C3(20xx湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為()A. B.C. D.解析：由題意知a3，b，c2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OMPF2，OMF1F2，PF2F1F2，|PF2|.又|PF1|PF2|2a6，|PF1|2a|PF2|，故選B.答案：B4(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：解法1：不妨設(shè)直線l過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)(0，b)和左焦點(diǎn)(c,0)，b>0，c>0，則直線l的方程為bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2，又b2a2c2，所以，即e2，所以e(e舍去)，故選B.解法2：不妨設(shè)直線l過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)(0，b)和左焦點(diǎn)(c,0)，b>0，c>0，則直線l的方程為bxcybc0，由已知得2b，所以2b，所以e，故選B.答案：B5已知橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在長(zhǎng)軸A1A2上任取一點(diǎn)M，過(guò)M作垂直于A1A2的直線，與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，則使得<0的點(diǎn)M的概率為()A. B.C. D.解析：設(shè)P(x，y)，(cx，y)，(cx，y)，(cx，y)(cx，y)x2y2c2x232<0，<x<.使得<0的點(diǎn)M的概率為.答案：C6(20xx湖北武昌調(diào)研)已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線bxcy0的對(duì)稱點(diǎn)P在橢圓上，則橢圓的離心率是()A. B.C. D.解析：設(shè)左焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線bxcy0的對(duì)稱點(diǎn)為P(m，n)，則所以m(12e2)c，n2be2.因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)在橢圓上，所以1，即(12e2)2e24e41，即4e6e210，將各選項(xiàng)代入知e符合，故選D.答案：D二、填空題7直線x2y20過(guò)橢圓1的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則橢圓的方程為_解析：直線x2y20與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，即為橢圓的左焦點(diǎn)，故c2.直線x2y20與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，即為橢圓的頂點(diǎn)，故b1.故a2b2c25，橢圓方程為y21.答案：y218設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在橢圓上，且CBA，若AB4，BC，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_解析：如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，由題意知，2a4，a2，CBA，BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(1,1)又點(diǎn)C在橢圓上，1，b2，c2a2b24，c，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為.答案：9(20xx安徽江南十校聯(lián)考)橢圓C：1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|a，APPQ，則橢圓C的離心率為_解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由對(duì)稱性可得|OP|，在RtPOA中，cosPOA，故POA60，易得P，代入橢圓方程得：1，故a25b25(a2c2)，則，所以離心率e.答案：三、解答題10如圖，已知橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(1,0)，點(diǎn)H在橢圓上(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)M在圓x2y2b2上，且M在第一象限，過(guò)M作圓x2y2b2的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：PF2Q的周長(zhǎng)是定值解：(1)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，根據(jù)已知，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，c1，H在橢圓上，2a|HF1|HF2|6，a3，b2，故橢圓的方程是1.(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則1，|PF2|，0<x1<3，|PF2|3x1，在圓中，M是切點(diǎn)，|PM|x1，|PF2|PM|3x1x13，同理：|QF2|QM|3，|F2P|F2Q|PQ|336，因此PF2Q的周長(zhǎng)是定值6.11(20xx浙江卷)如圖，設(shè)橢圓y21(a>1)()求直線ykx1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a，k表示)；()若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍解：()設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|AP|x1x2|.()假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1k2.由()知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k2>0得1kka2(2a2)kk0，因此(1)(1)1a2(a22)，因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)>1，所以a>.因此，任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1<a，由e得，所求離心率的取值范圍為0<e.1(20xx福建廈門一模)已知橢圓1的右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,2)，當(dāng)APF的周長(zhǎng)最大時(shí)，APF的面積等于()A. B.C. D.解析：由橢圓1知a3，b，c2，在RtAOF中，|OF|2，|OA|2，則|AF|4.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，則APF的周長(zhǎng)為|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF1|46|PA|PF1|10|AF1|(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，P在線段AF1的延長(zhǎng)線上時(shí)取“”)此時(shí)直線AF1的方程為1，與橢圓的方程5x29y2450聯(lián)立并整理得32y220y750，解得yP(正值舍去)，則APF的周長(zhǎng)最大時(shí)，SAPF|F1F|yAyP|4.故選B.答案：B2(20xx浙江卷)已知橢圓C1：y21(m>1)與雙曲線C2：y21(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()Am>n且e1e2>1 Bm>n且e1e2<1Cm<n且e1e2>1 Dm<n且e1e2<1解析：由于m21c2，n21c2，則m2n22，故m>n，又(e1e2)21>1，所以e1e2>1.故選A.答案：A3(20xx石家莊質(zhì)檢)已知兩定點(diǎn)A(2,0)和B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：yx3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為_解析：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A1(x1，y1)，則有解得x13，y11，易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|，因此橢圓C的離心率e的最大值為.答案：4已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，滿足2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得解得a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在直線l1且由題意得斜率存在，設(shè)滿足條件的方程為yk1(x2)1，代入橢圓C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因?yàn)橹本€l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)>0，所以k1>.又x1x2，x1x2，因?yàn)?，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k)2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以24(1k)，解得k1.因?yàn)閗1>，所以k1.于是存在直線l1滿足條件，其方程為yx.