高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)作業(yè)54拋物線一、選擇題1拋物線y2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.答案：C2已知拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2y24x50相切，則p的值為()A2 B1C. D.解析：曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得23，解得p2，故選A.答案：A3如果P1，P2，Pn是拋物線C：y24x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1x2xn10，則|P1F|P2F|PnF|()An10 Bn20C2n10 D2n20解析：由拋物線的方程y24x可知其焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為x1，由拋物線的定義可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.故選A.答案：A4(20xx江西南昌一模)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)，若|FP|3|FQ|，則|QF|()A. B.C3 D2解析：設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為M，過(guò)Q作QNl，垂足為N，則PQNPFM，所以，因?yàn)閨MF|4，所以|NQ|，故|QF|QN|，故選A.答案：A5已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于()A4 B4Cp2 Dp2解析：方法1：若焦點(diǎn)弦ABx軸，則x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.方法2：若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB的直線方程為yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，則x1x2.所以y1y2p2.故4.答案：A6(20xx河北邯鄲一模)已知M(x0，y0)是曲線C：y0上的一點(diǎn)，F(xiàn)是曲線C的焦點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，若<0，則x0的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(1,0)C(0,1) D(1,1)解析：由題意知曲線C為拋物線，其方程為x22y，所以F，根據(jù)題意可知，N(x0,0)，x00，(0，y0)，所以y0<0，即0<y0<，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以有0<<，又x00，解得1<x0<0或0<x0<1，故選A.答案：A二、填空題7已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A、B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.解析：由題意知B，代入方程1得p6.答案：68(20xx沈陽(yáng)第一次質(zhì)檢)已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)P作PAl于點(diǎn)A，當(dāng)AFO30(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，|PF|_.解析：令l與y軸交點(diǎn)為B，在RtABF中，AFB30，BF2，所以AB.設(shè)P(x0，y0)，則|x0|，代入x24y中，則y0，故|PF|PA|y01.答案：9已知一條過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y22x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_(kāi)解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y2x1，y2x2，兩式相減得yy2(x1x2)，即1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y1x2，即xy10.答案：xy1010已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F傾斜角為60的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則的值等于_解析：設(shè)|AF|m，|BF|n，則|BC|n，|AD|m，|AE|mn，|AF|BF|mn.在RtABE中，由于BAE60，所以cos60，解得3，即的值等于3.答案：3三、解答題11如圖，已知拋物線y22px(p>0)有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩直角邊OA與OB的長(zhǎng)分別為1和8，求拋物線的方程解：設(shè)直線OA的方程為ykx，k0，則直線OB的方程為yx，由得x0或x.A點(diǎn)坐標(biāo)為，同理得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得得k664，即k24.則p2.又p>0，則p，故所求拋物線方程為y2x.12(20xx湖南六校聯(lián)考)已知拋物線的方程為x22py(p>0)，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F作斜率為k(k0)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩條切線交于點(diǎn)M.(1)求；(2)設(shè)直線MF與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且四邊形ACBD的面積為p2，求直線AB的斜率k.解：(1)設(shè)直線AB的方程為ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22pkxp20，則x1x2y1y2p2.(2)由x22py，知y，拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為，直線AM的方程為yy1(xx1)，直線BM的方程為yy2(xx2)，則可得M.kMF，直線MF與AB相互垂直由弦長(zhǎng)公式知，|AB|x1x2|2p(k21)，用代替k得，|CD|2p，四邊形ACBD的面積S|AB|CD|2p2p2，解得k23或k2，即k或k.1(20xx廣西質(zhì)檢)過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線與拋物線C：y24x相交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|AB|，則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為()A. B.C. D2解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過(guò)A，B作直線y2的垂線，垂足分別為D，E.|PA|AB|，又得x1，則點(diǎn)A拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1.答案：A2(20xx四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B.C. D1解析：設(shè)P(，t)，易知F(，0)，則由|PM|2|MF|，得M(，)，當(dāng)t0時(shí)，直線OM的斜率k0，當(dāng)t0時(shí)，直線OM的斜率k，所以|k|，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是直線OM的斜率的最大值為，選C.答案：C3(20xx廣東深圳一模)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)，則p等于_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)，則y2px1，y2px2，兩式相減，得(y1y2)2p，即2y012p，所以y0p，又AB的方程為yx，所以x0p，即M，代入AB的中垂線yx2，可得p.答案：4(20xx安徽合肥一檢)設(shè)A，B為拋物線y2x上相異兩點(diǎn)，其縱坐標(biāo)分別為1，2，分別以A，B為切點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)M為A，B間拋物線段上任意一點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)知A(1,1)，B(4，2)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(xP，yP)，切線l1：y1k(x1)，聯(lián)立由拋物線與直線l1相切，解得k.即l1：yx.同理，l2：yx1，聯(lián)立l1，l2的方程，可解得即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)設(shè)M(y，y0)，且2y01，由，得.即解得故1，即為定值1.