高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時作業(yè)56定點、定值、探索性問題1過拋物線y22px(p>0)上一定點P(x0，y0)(y00)分別作斜率為k和k的直線l1，l2，設(shè)l1，l2分別與拋物線y22px交于A，B兩點，證明：直線AB的斜率為定值證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題易知k0.由消去x，得y2y2px00，由韋達(dá)定理得y0y1，所以y1y0.同理y0y2，得y2y0.由得y1y22y0，所以kAB，故直線AB的斜率為定值2已知橢圓1(a>b>0)經(jīng)過點M(，1)，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點P(，0)，若A，B為已知橢圓上兩動點，且滿足2，試問直線AB是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由解：(1)由題意得，因為橢圓經(jīng)過點M(，1)，所以1.又a2b2c2，由解得a28，b2c24，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為ykxm，代入1，消去y，整理得(2k21)x24kmx2m280.由>0，得8k24m2>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，所以(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2(km)(x1x2)6m22，得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20，即(k21)(km)8m20，整理得(m2k)20，從而mk，滿足，所以直線AB的方程為yk，故直線AB恒過定點.當(dāng)直線AB與x軸垂直時，若直線為x，此時點A，B的坐標(biāo)分別為，滿足2，此時直線x也過定點.綜上，直線AB恒過定點.3(20xx河北質(zhì)量監(jiān)測)已知橢圓E：1的右焦點為F(c,0)且a>b>c>0，設(shè)短軸的一個端點為D，原點O到直線DF的距離為，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點，且|4.(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在過點P(2,1)的直線l與橢圓E相交于不同的兩點A，B且使得24成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解：(1)由橢圓的對稱性知|2a4，a2.又原點O到直線DF的距離為，bc，又a2b2c24，a>b>c>0，b，c1.故橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時不滿足條件故可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)>0，k>.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，424(1k2)45，解得k，k不符合題意，舍去存在滿足條件的直線l，其方程為yx.1(20xx江西聯(lián)考)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個焦點恰好與拋物線y24x的焦點重合(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓的上頂點為A，過點A作橢圓C的兩條動弦AB，AC，若直線AB，AC斜率之積為，直線BC是否一定經(jīng)過一定點？若經(jīng)過，求出該定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，則e，c1，故a22，b21，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由(1)知A(0,1)，當(dāng)直線BC的斜率不存在時，設(shè)BC：xx0，設(shè)B(x0，y0)，則C(x0，y0)，kABkAC，不合題意故直線BC的斜率存在設(shè)直線BC的方程為：ykxm(m1)，并代入橢圓方程，得：(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)>0得2k2m21>0.設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，由kABkAC得：4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因為m1，所以m3，此時直線BC的方程為ykx3.所以直線BC恒過一定點(0,3)2(20xx西安質(zhì)檢)如圖所示，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好在拋物線x28y的準(zhǔn)線上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點P(2，)，Q(2，)在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點，當(dāng)A，B運動時，滿足APQBPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)橢圓的一個頂點恰好在拋物線x28y的準(zhǔn)線y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為k，直線PA的方程為：yk(x2)，聯(lián)立化為(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB.直線AB的斜率為定值.