高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)鞏固過關(guān)練(九)三角恒等變換與解三角形一、選擇題1(20xx甘肅臨夏期中)已知sincos，且，則的值為()A. BC. D解析：sincos，sincosa.兩邊平方可得：12sincos，2sincos，12sincos，(sincos)2.，sincos.(sincos).答案：B2在ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，f(B)4cosBsin2cos2B2cosB，若f(B)2，則角B為()A. B.C. D.解析：由已知f(B)4cosBcos2B2cosB2cosB(1sinB)cos2B2cosB2cosBsinBcos2Bsin2Bcos2B2sin，f(B)2，sin1.又<2B<，2B，B.答案：A3(20xx山東煙臺(tái)一調(diào))如果將直角三角形三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D由增加的長(zhǎng)度決定解析：設(shè)直角三角形三邊分別為a，b，c，其中c為斜邊，增加的長(zhǎng)度為d，由已知a2b2c2，在新三角形中，由余弦定理可得cosC>0.又邊長(zhǎng)cd為最長(zhǎng)邊，故角C最大且為銳角，新三角形為銳角三角形答案：A4在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.若2asinBb，則角A等于()A. B.C. D.解析：由2asinBb及正弦定理可得2sinAsinBsinB，即sinA，結(jié)合0<A<可知A.答案：D5設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sin2A，即sinA1，A，故選A.答案：A6在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ab，c，sinA，cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB，則ABC的面積為()A. B.C. D.解析：由題意得，sin2Asin2B，即sin2Acos2Asin2Bcos2B，sinsin，由ab得AB，又AB(0，)，2A2B，即AB，C.由c，sinA，得a，由a<c，得A<C，從而cosA，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，ABC的面積為SacsinB.答案：A7已知ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sin2Asin(ABC)sin(CAB)，面積S滿足1S2，記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是()Abc(bc)>8 Bac(ab)>16C6abc12 D12abc24解析：由題設(shè)得sin2Asin(2B)sin(2C)sin2Asin2Bsin2Csin2(2B2C)sin2Bsin2Csin2Bsin2Csin(2B2C)sin2B(1cos2C)sin2C(1cos2B)4sinBsinC(sinBcosCcosBsinC)sinAsinBsinC.由三角形面積公式SabsinC及正弦定理得S4R2sinAsinBsinC，R24S，又1S2，4R28，bc(bc)abc8R3sinAsinBsinC>R3恒成立，bc(bc)>8.故選A.答案：A二、填空題8(20xx江西吉安期中)在ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，若ABD是等邊三角形，且AC4，則ADC的面積的最大值為_解析：在ACD中，cosADC，整理得AD2CD248ADDC2ADDC，ADDC16，當(dāng)ADCD時(shí)等號(hào)成立，ADC的面積SADDCsinADCADDC4，故答案為4.答案：49(20xx北京高考)在ABC中，a4，b5，c6，則_.解析：1.答案：110在ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosCccosB2b，則_.解析：bcosCccosB2b，由邊角互化得sinBcosCsinCcosB2sinB，即sin(BC)2sinB，即sinA2sinB，a2b2.答案：2三、解答題11(20xx江西高安段考)如圖，在等腰直角三角形OPQ中，POQ90，OP2，點(diǎn)M在線段PQ上(1)若OM，求PM的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且MON30，問：當(dāng)POM取何值時(shí)，OMN的面積最??？并求出面積的最小值解：(1)在OPQ中，OPQ45，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2PM22OPPMcos45，得PM24PM30，解得PM1或PM3.(2)設(shè)POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以O(shè)M，同理ON.SOMNOMONsinMON.060，30230150，當(dāng)30時(shí)，sin(230)的最大值為1，此時(shí)OMN的面積取到最小值即POM30時(shí)，OMN的面積的最小值為84.12如圖，港口A在港口O的正東120海里處，小島B在港口O的北偏東60的方向，且在港口A北偏西30的方向上一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30的OD方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O.一艘給養(yǎng)快艇從港口A以60海里/小時(shí)的速度駛向小島B，在B島轉(zhuǎn)運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科考船已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給裝船時(shí)間為1小時(shí)(1)求給養(yǎng)快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間；(2)給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過多少時(shí)間能和科考船相遇？解：(1)由題意知，在OAB中，OA120，AOB30，OAB60.于是AB60，而快艇的速度為60海里/小時(shí)，所以快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間為1小時(shí)(2)由(1)知，給養(yǎng)快艇從港口A駛離2小時(shí)后，從小島B出發(fā)與科考船匯合為使航行的時(shí)間最少，快艇從小島B駛離后必須按直線方向航行，設(shè)t小時(shí)后恰與科考船在C處相遇在OAB中，OA120，AOB30，OAB60，所以O(shè)B60，而在OCB中，BC60t，OC20(2t)，BOC30，由余弦定理，得BC2OB2OC22OBOCcosBOC，即(60t)2(60)220(2t)226020(2t)，即8t25t130，解得t1或t(舍去)故t23.即給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科考船相遇