高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時鞏固過關(guān)練(五)函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用一、選擇題1(20xx·天津薊縣期中)函數(shù)f(x)|x2|lnx在定義域內(nèi)的零點可能落在的區(qū)間為()A(0,1) B(2,3)C(3,4) D(4,5)解析：函數(shù)f(x)|x2|lnx，f(1)1>0，f(2)ln2<0，f(3)1ln3<0，f(4)2ln4>0，f(5)3ln5>0，f(1)·f(2)<0，f(3)f(4)<0.函數(shù)的零點在(1,2)，(3,4)上，故選C.答案：C2(20xx·山東淄博六中期中)設(shè)f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在區(qū)間為()A(1,1.25) B(1.25,1.5)C(1.5,2) D不能確定解析：函數(shù)f(1.5)·f(1.25)<0，由零點存在定理，方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)故選B.答案：B3(20xx·黑龍江哈師大附中期中)關(guān)于x的方程|x|a10有解，則a的取值范圍是()A(0,1 B(1,0C1，) D(0，)解析：關(guān)于x的方程|x|a10有解，函數(shù)y|x|的圖象與直線ya1有交點，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：0<|x|1，方程有解只需0<a10，即1<a0，故選B.答案：B4(20xx·山東乳山一中月考)已知函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x2)f(x)，且x(1,1時，f(x)|x|，則yf(x)與ylog7x的交點的個數(shù)為()A4 B5C6 D7解析：已知函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，在同一個坐標系中，畫出函數(shù)yf(x)和ylog7x的圖象，可以得出兩個圖象的交點的個數(shù)是6，故選C.答案：C5(20xx·寧夏銀川長慶高中月考)a3x2dx，函數(shù)f(x)2ex3xa的零點所在的區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：a3x2dxx3|7，f(x)2ex3x7.f(0)2e03×075，f(1)2e372(e2)>0.f(0)f(1)<0，函數(shù)f(x)2ex3xa的零點所在的區(qū)間是(0,1)故選C.答案：C6(20xx·山東淄博淄川一中期中)設(shè)函數(shù)f(x)exx2的零點為x1，函數(shù)g(x)lnxx23的零點為x2，則()Ag(x1)<0，f(x2)>0Bg(x1)>0，f(x2)<0Cg(x1)>0，f(x2)>0Dg(x1)<0，f(x2)<0解析：因為函數(shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增，且f(0)1<0，f(1)e1>0，由零點存在性定理知x1(0,1)因為函數(shù)g(x)lnxx23在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)2<0，g(2)ln21>0，由零點存在性定理知x2(1,2)因為函數(shù)g(x)lnxx23在(0，)上單調(diào)遞增，且x1(0,1)，所以g(x1)<g(1)<0；因為函數(shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增，且x2(1,2)，所以f(x2)>f(1)>0.故選A.答案：A7(20xx·湖南株洲質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x2e有且只有一個零點，則k的值為()Ae Be2C1 De解析：函數(shù)的定義域為(0，)，令x2e0，即方程x22exk只有一個解，設(shè)g(x)x22ex，則g(x)2(ex)，當x>e時，g(x)<0；當0<x<e時，g(x)>0，故當xe時，g(x)取得最大值g(e)e2，又x22exk只有一個解，故ke2，故選B.答案：B8(20xx·河北保定定州期中)已知函數(shù)f(x)關(guān)于x的方程f2(x)bf(x)c0有7個不同的解，則b，c滿足的條件是()Ab<0，c<0 Bb<0，c0Cb>0，c0 Db>0，c<0解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設(shè)f(x)t，當t0時，方程有3個根；當t>0時，方程有4個根，當t<0時，方程無解要使關(guān)于x的方程f2(x)bf(x)c0有7個不同實數(shù)解，關(guān)于f(x)的方程f2(x)bf(x)c0等價為t2btc0有一個正實數(shù)根和一個等于零的根c0，此時t2btt(tb)0，則另外一個根為tb，即f(x)b>0，即b<0，c0.故選B.答案：B二、填空題9(20xx·上海六校聯(lián)考一)已知f(x)kx|x1|有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：令f(x)0，得kx|x1|，設(shè)y1kx，y2|x1|，畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖，折線為y2的圖象，直線(實線)為y1的圖象，且y1的圖象恒過原點，要使f(x)有兩個零點，則y1和y2的圖象有兩個交點，當k1時，y1x(虛線)與y2圖象的右側(cè)(x>1)平行，此時，兩圖象只有一個交點，因此，要使y1和y2的圖象有兩個交點，則0<k<1，故答案為(0,1)答案：(0,1)10(20xx·湖北高考)函數(shù)f(x)2sinxsinx2的零點個數(shù)為_解析：函數(shù)f(x)2sinxsinx2的零點個數(shù)等價于方程2sinxsinx20的根的個數(shù)，即函數(shù)g(x)2sinxsin2sinxcosxsin2x與h(x)x2的圖象交點個數(shù)于是，分別畫出其函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個交點答案：2三、解答題11(20xx·山東萊蕪期中)已知函數(shù)f(x)exax，aR.(1)若函數(shù)f(x)在x0處的切線過點(1,0)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在(1，)上不存在零點，求a的取值范圍；(3)若a1，設(shè)函數(shù)g(x)，求證：當x0時，g(x)1.解：(1)f(x)exax的導(dǎo)數(shù)為f(x)exa，函數(shù)f(x)在x0處的切線斜率為1a，又切線過點(0,1)，則切線方程為y1(1a)x，又切線過點(1,0)，可得1a1，解得a2.(2)函數(shù)f(x)在(1，)上不存在零點，則方程exax0無實根，即a在x>1時無解，設(shè)h(x)，即有h(x)，當1<x<0,0<x<1時，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當x>1時，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增則x>0時，在x1處，h(x)取得最小值h(1)e，1<x<0時，h(x)<.則a的取值范圍是.(3)a1時，函數(shù)g(x)，當x0時，g(x)1等價為ex(3x4)x40，令F(x)ex(3x4)x4，F(xiàn)(0)0，F(xiàn)(x)ex(3x1)1，F(xiàn)(0)0，再令G(x)ex(3x1)1，G(x)ex(3x2)>0，則G(x)在0，)上單調(diào)遞增，即G(x)G(0)0，即F(x)0，即F(x)在0，)上單調(diào)遞增，則F(x)F(0)0，即ex(3x4)x40，故當x0時，g(x)1.12(20xx·福建福州三中期中)已知函數(shù)f(x)ex1ax，aR.(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)試探究函數(shù)F(x)f(x)xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由(3)若g(x)ln(ex1)lnx，且f(g(x)<f(x)在x(0，)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)ex1ax(xR，aR)，f (x)exa，當a0時，則xR有f (x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增；當a>0時，f (x)>0x>lna，f (x)<0x<lna，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，lna)綜上，當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)；當a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，lna)(2)函數(shù)F(x)f(x)xlnx的定義域為(0，)，由F(x)0，得alnx，x>0.令h(x)lnx，x>0，則h(x)，x>0，h(x)>0x>1，h(x)<00<x<1，函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增h(x)h(1)e1.由(1)知當a1時，對x>0，有f(x)>f(lna)0，即ex1>x>1.當x>0且x趨向0時，h(x)趨向.隨著x>0的增長，yex1的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yx2的增長速度，而ylnx的增長速度則會越來越慢故當x>0且x趨向時，h(x)趨向.得到函數(shù)h(x)的草圖如圖所示故當a>e1時，函數(shù)F(x)有兩個不同的零點；當ae1時，函數(shù)F(x)有且僅有一個零點；當a<e1時，函數(shù)F(x)無零點(3)由(2)知當x>0時，ex1>x，故對x0，g(x)>0，用分析法證明x>0，g(x)<x.要證x>0，g(x)<x，只需證x>0，<ex，即證x>0，xexex1>0.構(gòu)造函數(shù)H(x)xexex1(x>0)，H(x)xex>0，故函數(shù)H(x)xexex1在(0，)上單調(diào)遞增，H(x)>H(0)0，則x>0，xexex1>0成立當a1時，由(1)知，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則f(g(x)<f(x)在x(0，)上恒成立當a>1時，由(1)知，函數(shù)f(x)在(lna，)上單調(diào)遞增，在(0，lna)上單調(diào)遞減，故當0<x<lna時，0<g(x)<x<lna，f(g(x)>f(x)，則不滿足題意綜合得，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是(，1