高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)鞏固過關(guān)練(十四)用空間向量的方法解立體幾何問題一、選擇題1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值為()A1 B.C. D.解析：由題意知，kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，kab與2ab垂直，3(k1)2k40，解得k.答案：D2(20xx四川巴中平昌期中)已知i，j，k是空間的一個(gè)單位正交基底，且2ik，2j，則OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是()A. B.C5 D.解析：i，j，k是空間的一個(gè)單位正交基底，且2ik，2j(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，(2,0,1)，(0,2,0)，0，OAB的面積S|2.答案：D3已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在棱AC1上，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|等于()A.a B.aC.a D.a解析：()，又，兩兩互相垂直，|a.故選A.答案：A4如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，則()AEF至多與A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面解析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC.故選B.答案：B5正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是()A. B.C. D.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則令x1，則n(1，1，1)，點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是d.答案：D6(20xx四川雅安月考)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，如圖，取BC的中點(diǎn)為O，連接ON，MN綊B1C1綊OB，則MNOB是平行四邊形，BM與AN所成角就是ANO.BCCACC1，設(shè)BCCACC12，CO1，AO，AN，MB，在ANO中，由余弦定理可得cosANO.故選C.答案：C7(20xx黑龍江大慶期末)在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ACB90，BAC30，BC1，且三棱柱ABCA1B1C1的體積為3，則三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面積為()A16 B2C D32解析：如圖，三棱柱ABCA1B1C1中側(cè)棱垂直于底面，設(shè)側(cè)棱長為a，又三棱柱的底面為直角三角形，BC1，BAC30，AC，AB2，三棱柱的體積V1a3，a2，ABC的外接圓半徑為AB1，三棱柱的外接球的球心為上、下底面直角三角形斜邊中點(diǎn)連線的中點(diǎn)O，外接球的半徑R2，外接球的表面積S42216.故選A.答案：A二、填空題8(20xx河北衡水武邑期中)已知正方體ABCDABCD的棱長為1，設(shè)a，b，c，則_.解析：取CC1的中點(diǎn)E，連接AC，AE.因?yàn)檎襟wABCDABCD的棱長為1，設(shè)a，b，c，則abc.所以|.答案：三、解答題9如圖所示的多面體中，AD平面PDC，ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BP上一點(diǎn)，CDP120，AD3，AP5，PC2.(1)試確定點(diǎn)F的位置，使得EF平面PDC；(2)若BFBP，求直線AF與平面PBC所成的角的正弦值解：(1)如圖，令F為線段BP的中點(diǎn)，取PC的中點(diǎn)O，連接FO，DO，F(xiàn)，O分別為BP，PC的中點(diǎn)，F(xiàn)O綊BC.四邊形ABCD為平行四邊形，ED綊BC，F(xiàn)O綊ED，四邊形EFOD是平行四邊形，EFDO.EF平面PDC，DO平面PDC，EF平面PDC.(2)以DC為x軸，過D點(diǎn)作DC的垂線為y軸，DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)D平面PDC，DP平面PDC，ADDP.AD3，AP5，DP4.在PDC中，由PD4，PC2，CDP120，及余弦定理，得CD2，則D(0,0,0)，C(2,0,0)，B(2,0,3)，P(2,2，0)，A(0,0,3)，設(shè)F(x，y，z)，則(x2，y，z3)，F(xiàn)，.設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量n(a，b，c)，(0,0,3)，(4，2，0)，由得令b1，可得n，cos，n，直線AF與平面PBC所成的角的正弦值為.10(20xx河北石家莊模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，ABCBAD90，APADAB，BCt，PABPAD.(1)當(dāng)t3時(shí)，試在棱PA上確定一點(diǎn)E，使得PC平面BDE，并求出此時(shí)的值；(2)當(dāng)60時(shí)，若平面PAB平面PCD，求此時(shí)棱BC的長解：(1)解法一：連接AC，BD交于點(diǎn)F，在平面PCA中作EFPC交PA于E，連接DE，BE.因?yàn)镻C平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE.因?yàn)锳DBC，所以，因?yàn)镋FPC，所以.解法二：在棱PA上取一點(diǎn)E，使得，連接AC，BD交于點(diǎn)F，因?yàn)锳DBC，所以，所以，所以EFPC，因?yàn)镻C平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE.(2)取BC上一點(diǎn)G，使得BG，連接DG，則四邊形ABGD為正方形過P作PO平面ABCD，垂足為O.連接OA，OB，OD，OG.因?yàn)锳PADAB，PABPAD60，所以PAB和PAD都是等邊三角形，因此PAPBPD，所以O(shè)AOBOD，即點(diǎn)O為正方形ABGD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)G，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，G(1,0,0)，C，故(1,0，1)，(0,1，1)，(0，1，1)設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，則即不妨令x11，可得m(1,1,1)為平面PAB的一個(gè)法向量設(shè)平面PCD的法向量為n(x2，y2，z2)，則即不妨令y21，可得n為平面PCD的一個(gè)法向量由mn0.解得t2，BC2.11(20xx北京昌平期末)在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD為等邊三角形，ABADCD，ABAD，ABCD，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)(1)求證：MB平面PAD；(2)求二面角PBCD的余弦值；(3)在線段PB上是否存在點(diǎn)N，使得DN平面PBC？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)取PD中點(diǎn)H，連接MH，AH.M為PC的中點(diǎn)，HMCD，HMCD.ABCD，ABCD.ABHM且ABHM.四邊形ABMH為平行四邊形，BMAH.BM平面PAD，AH平面PAD，BM平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO.PAPD，POAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.取BC的中點(diǎn)K，連接OK，則OKAB.以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2，則A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,4,0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，(2,2,0)，(1,2，)平面BCD的一個(gè)法向量(0,0，)，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量n(x，y，z)，由得令x1，則n(1,1，)cos，n.由題圖可知，二面角PBCD是銳二面角，二面角PBCD的余弦值為.(3)不存在設(shè)點(diǎn)N(x，y，z)，且，0,1，則，(x，y，z)(1,2，)則N(，2，)，(1,2，)若DN平面PBC，則n，即12，此方程無解，在線段PB上不存在點(diǎn)N，使得DN平面PBC.