高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時鞏固過關(guān)練(十七)圓錐曲線中的熱點問題一、選擇題1已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A. B.C3 D2解析：解法一：設(shè)橢圓方程為1(a1>b1>0)，離心率為e1，雙曲線的方程為1(a2>0，b2>0)，離心率為e2，它們的焦距為2c，不妨設(shè)P為兩曲線在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左，右焦點，則易知解得在F1PF2中，由余弦定理得(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos604c2，整理得a3a4c2，所以4，即4.設(shè)a，b，ab|a|b|，故的最大值是，故選A.解法二：不妨設(shè)P在第一象限，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理得m2n2mn4c2.設(shè)橢圓的長軸長為2a1，離心率為e1，雙曲線的實軸長為2a2，離心率為e2，它們的焦距為2c，則.2，易知21的最小值為.故max.故選A.答案：A2設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A5 B.C7 D6解析：設(shè)Q(cos，sin)，圓心為M，由已知得M(0,6)，則|MQ|5，故|PQ|max56.答案：D3(20xx廣東深圳一模)過點(0,2b)的直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條斜率為正值的漸近線平行，若雙曲線C的右支上的點到直線l的距離恒大于b，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A(1,2 B(2，)C(1,2) D(1，)解析：由題意得，直線l的方程為yx2b，即bxay2ab0，因為雙曲線C的右支上的點到直線l的距離恒大于b，所以直線l與bxay0的距離恒大于或等于b，所以b，即3a2b2，3，e214，又e>1，1<e2，故選A.答案：A4(20xx河南焦作一模)已知橢圓1(a>b>0)，P為橢圓上與長軸端點不重合的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點，過F2作F1PF2外角平分線的垂線，垂足為Q，若|OQ|2b，橢圓的離心率為e，則的最小值為()A. B.C. D1解析：如圖所示，設(shè)F1PF2的外角平分線為PT，則F2QPT，延長F2Q交F1P的延長線于M.PT為F2PM的平分線，且PQF2M，F(xiàn)2PM為等腰三角形，且|PM|PF2|，由橢圓定義知|PF1|PF2|2a，|PM|PF1|F1M|2a.又O為F1F2的中點，Q為F2M的中點，|OQ|F1M|，|OQ|a，又|OQ|2b，a2b，e.2b2，當(dāng)且僅當(dāng)2b，即b時，取得等號，故選C.答案：C二、解答題5如圖，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限(1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標(biāo)；(2)若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為ab.解：(1)設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0)，由消去y得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l與C只有一個公共點，故0，即b2m2a2k20，解得點P的坐標(biāo)為.又點P在第一象限，故點P的坐標(biāo)為.(2)由于直線l1過原點O且與l垂直，故直線l1的方程為xky0，所以點P到直線l1的距離d，整理得d.因為a2k22ab，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)k2時等號成立所以，點P到直線l1的距離的最大值為ab.6已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點P(0,1)和點A(m，n)(m0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M.(1)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(2)設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得OQMONQ？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(1)由題意得解得a22.故橢圓C的方程為y21.設(shè)M(xM,0)因為m0，所以1<n<1.因為直線PA的方程為y1x，所以xM，即M.(2)因為點B與點A關(guān)于x軸對稱，所以B(m，n)設(shè)N(xN,0)，則xN.“存在點Q(0，yQ)使得OQMONQ”等價于“存在點Q(0，yQ)使得”，即yQ滿足y|xM|xN|.因為xM，xN，n21，所以y|xM|xN|2.所以yQ或yQ.故在y軸上存在點Q，使得OQMONQ.點Q的坐標(biāo)為(0，)或(0，)7(20xx豫北名校4月聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2xy60相切(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點A，B為動直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個交點，問在x軸上是否存在定點E，使得2為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由解：(1)由e，即，得ca，(*)由已知得圓的方程為x2y2a2，又圓與直線2xy60相切，所以a，代入(*)式得c2，所以b2a2c22.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)存在由得(13k2)x212k2x12k260.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，假設(shè)在x軸上存在定點E(m,0)，使得2()為定值，則(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)的值與k無關(guān)，3m212m103(m26)，得m.此時，2m26，所以在x軸上存在定點E，使得2為定值，且定值為.