高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5數(shù) 列第3講等差數(shù)列、等比數(shù)列題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(對應(yīng)學(xué)生用書第8頁)核心知識儲備1等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式ana1(n1)d；Snna1d.2等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式ana1qn1(q0)；Sn(q1)典題試解尋法【典題1】(考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，則m()A3B4C5D6解析Sm15，Sm11，Sm121，amSmSm116，am1Sm1Sm32.q2.又Sm11，am1a1(2)m32，a11，m5.答案C【典題2】(考查等差(比)數(shù)列的通項與求和)(20xx全國卷)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項公式；(2)求bn的前n項和. 【導(dǎo)學(xué)號：07804019】解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以數(shù)列an是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首項為1，公比為的等比數(shù)列記bn的前n項和為Sn，則Sn.類題通法在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q)，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這其中蘊(yùn)含著方程的思想.提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍.對點(diǎn)即時訓(xùn)練1九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為()A.升B升C.升D升A自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，a9，依題意有，因?yàn)閍2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8.選A.2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a2a38，a53a2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn中，b11，b22，從數(shù)列an中取出第bn項記為cn，若cn是等比數(shù)列，求bn的前n項和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意有，解得a11，d2，從而an的通項公式為an2n1，nN*.(2)c1ab1a11，c2ab2a23，從而等比數(shù)列cn的公比為3，因此cn13n13n1.另一方面，cnabn2bn1，所以2bn13n1，因此bn.記bn的前n項和為Sn，則Sn.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時集訓(xùn)T1、T4、T5、T9、T12、T13)題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)(對應(yīng)學(xué)生用書第9頁)核心知識儲備1若m，n，p，qN*，mnpq，則在等差數(shù)列中amanapaq，在等比數(shù)列中，amanapaq.2若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，則mankbn，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)3若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，anbn，manbn(m為常數(shù)，m0)，a，仍為等比數(shù)列4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5若A2n1，B2n1分別為等差數(shù)列an，bn的前2n1項的和，則.典題試解尋法【典題1】(考查等比數(shù)列的性質(zhì))(20xx福州五校二模聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x27x120的兩根，則的值為()A2B4C2D4解析a3，a15是方程x27x120的兩根，a3a1512，a3a157，an為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號，a90，a92，a92.故選A.答案A【典題2】(考查等差數(shù)列的性質(zhì))(20xx湘中名校聯(lián)考)若an是等差數(shù)列，首項a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，則使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析因?yàn)閍10，a2 016a2 0170，a2 106a2 0170，所以d0，a2 0160，a2 0170，所以S4 0320，S4 0334 033a2 0170，所以使前n項和Sn0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C.答案C【典題3】(考查數(shù)列的單調(diào)性與最值)(20xx洛陽一模)等比數(shù)列an的首項為，公比為，前n項和為Sn，則當(dāng)nN*時，Sn的最大值與最小值之和為()【導(dǎo)學(xué)號：07804020】ABC.D解析依題意得，Sn1n.當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn1隨著n的增大而減小，1Sn1S1，Sn隨著Sn的增大而增大，0Sn；當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn1隨著n的增大而增大，S2Sn11，Sn隨著Sn的增大而增大，Sn0.因此Sn的最大值與最小值分別為、，其最大值與最小值之和為，選C.答案C類題通法1.應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題,關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.2數(shù)列中項的最值的求法常有以下兩種：(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列an的最大項，則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項對點(diǎn)即時訓(xùn)練1已知等比數(shù)列an，且a6a8dx，則a8(a42a6a8)的值為()A2B42C82D162D因?yàn)閍6a8dx424，所以a8(a42a6a8)a8a42a6a8aa2a6a8a(a6a8)2162，故選D.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，中最大的項為()【導(dǎo)學(xué)號：07804021】A.BC.DC由S1515a8>0，S1616<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以an單調(diào)遞減，因?yàn)榍?項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大，故選C.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時集訓(xùn)T3、T6、T8、T10)題型3等差、等比數(shù)列的判定與證明(對應(yīng)學(xué)生用書第10頁)核心知識儲備數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法：(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為同一常數(shù)；利用中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為同一常數(shù)；利用等比中項，即證明aan1an1(n2)典題試解尋法【典題】(20xx全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3.a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列類題通法(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證明方法.(2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項是否為零.對點(diǎn)即時訓(xùn)練已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12,2Sn(n1)2ann2an1，數(shù)列bn滿足b11，bnbn12an.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得bn為等比數(shù)列？并說明理由解(1)由2Sn(n1)2ann2an1，得到2Sn1n2an1(n1)2an，所以2an(n1)2ann2an1n2an1(n1)2an，所以2anan1an1，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，因?yàn)?S1(11)2a1a2，所以48a2，所以a24，所以da2a1422，所以an22(n1)2n.(2)存在，因?yàn)閎nbn12an4n，b11，所以b2b14，所以b24，所以bn1bn24n1，所以4，所以bn24bn，所以b34b14，若bn為等比數(shù)列，則(b2)2b3b1，所以16241，所以.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時集訓(xùn)T2、T7、T11、T14)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對應(yīng)學(xué)生用書第11頁)1(20xx全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4D8C設(shè)an的公差為d，則由得解得d4.故選C.2(20xx全國卷)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為() 【導(dǎo)學(xué)號：07804022】A24B3C3D8A由已知條件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故選A.3(20xx全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞B3盞C5盞D9盞B設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7381，q2，S7381，解得a13.故選B.4(20xx全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21B42C63D84B設(shè)數(shù)列an的公比為q.a13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故選B.5(20xx全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_64設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n22.記t(n27n)，結(jié)合nN*可知n3或4時，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.6(20xx全國卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0. 【導(dǎo)學(xué)號：07804023】(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.