高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第4講數(shù)列求和題型1數(shù)列中an與Sn的關(guān)系(對應(yīng)學(xué)生用書第11頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備1數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系：an2求數(shù)列an通項(xiàng)的方法：(1)疊加法形如anan1f(n)(n2)的數(shù)列應(yīng)用疊加法求通項(xiàng)公式，ana1f(k)(和可求)(2)疊乘法形如f(n)(n2)的數(shù)列應(yīng)用疊乘法求通項(xiàng)公式，ana1(積可求)(3)待定系數(shù)法形如anan1(n2，1，0)的數(shù)列應(yīng)用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式，an典題試解尋法【典題1】(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求Sn)已知數(shù)列an滿足an13an2.若首項(xiàng)a12，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析因?yàn)閍n13an2，所以an113(an1)，故an1是以a113為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an13n，所以an3n1.Sna1a2an(311)(321)(3n1)(31323n)nnn，所以Snn.答案【典題2】(考查已知an與Sn的遞推關(guān)系求an)數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由已知，當(dāng)n2時(shí)，1，所以1，即1，所以.又S1a11，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以1(n1)，即Sn.所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1.因此an類題通法給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通項(xiàng)公式時(shí)，務(wù)必驗(yàn)證n1時(shí)的情形對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1已知數(shù)列an滿足an1，若a1，則a2 018()A1BC1D2D由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是歸納可得a3n2，a3n12，a3n1，因此a2 018a367222.故選D.2已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an2n ，則Sn_.n2n(nN*)由Sn2an2n得當(dāng)n1時(shí)，S1a12；當(dāng)n2時(shí)，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則n，Snn2n(n2)，當(dāng)n1時(shí)，也符合上式，所以Snn2n(nN*)題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)題型2裂項(xiàng)相消法求和(答題模板)(對應(yīng)學(xué)生用書第12頁)裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列與式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和(20xx全國卷T15、20xx全國卷T17、20xx全國卷T16)典題試解尋法【典題】(本小題滿分12分)(20xx全國卷)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804027】審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息看到a2an4Sn3，想到a2an14Sn13，兩式作差，求an.看到bn，想到先求bn，想到能否裂項(xiàng).規(guī)范解答(1)由a2an4Sn3，可知.1分兩式相減可得aa2(an1an)4an1，2分即.由于，所以an1an2.4分又由a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.5分所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.6分(2)由an2n1可知bn.8分設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn.12分閱卷者說易錯(cuò)點(diǎn)防范措施忽視an與Sn的關(guān)系導(dǎo)致思路不清.anSnSn1(n2)是聯(lián)系an與Sn的橋梁，常借助其實(shí)現(xiàn)互化關(guān)系.忽視化簡、因式分解致誤.當(dāng)?shù)仁街谐霈F(xiàn)二元二次方程時(shí)，常考慮因式分解.忽視題設(shè)條件an0，導(dǎo)致增解.對題設(shè)條件可適當(dāng)標(biāo)注，以引起注意，同時(shí)解題后要反思總結(jié).忽視裂項(xiàng)或裂項(xiàng)后與原式不等價(jià).形如的數(shù)列常用裂項(xiàng)相消法求和，裂項(xiàng)后要注意系數(shù)的變化.類題通法裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常見的裂項(xiàng)方式有：提醒：在裂項(xiàng)變形時(shí)，務(wù)必注意裂項(xiàng)前的系數(shù).對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練(20xx鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，且滿足Snan1n1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnlog3(an1)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.解(1)由Snan1n1(nN*)，得Sn1ann(n2，nN*)，兩式相減，并化簡，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)證明：由bnlog3(an1)log33nn，得，Tn.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T6、T9、T13)題型3錯(cuò)位相減法求和(對應(yīng)學(xué)生用書第13頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備錯(cuò)位相減法：用于等差數(shù)列an，等比數(shù)列bn構(gòu)成的數(shù)列anbn，乘公比q作差典題試解尋法【典題】設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804028】解(1)因?yàn)閍13a232a33n1an，所以當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，由得3n1an，所以an(n2)在中，令n1，得a1，適合an，所以an(nN*)(2)證明：由(1)可得bnn3n，Sn131232333n3n，3Sn132233334n3n1，由得2Sn33233343nn3n1n3n1，故Sn.類題通法 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“SnqSn”的表達(dá)式.(3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，這在以前的高考中經(jīng)常考查.對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比q0，S22a22，S3a42.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)S22a22，S3a42，得a3a42a2，則q2q20，又q0，q2.S22a22，a1a22a22，a1a1q2a1q2，a12.an2n.(2)由(1)知bn，Tn，Tn.錯(cuò)位相減得Tn，可得Tn2.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T14)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對應(yīng)學(xué)生用書第14頁)1(20xx全國卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440B330C220D110A設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意知，N>100，令100n14且nN*，即N出現(xiàn)在第13組之后第n組的各項(xiàng)和為2n1，前n組所有項(xiàng)的和為n2n12n.設(shè)N是第n1組的第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則N項(xiàng)的和即第n1組的前k項(xiàng)的和2k1應(yīng)與2n互為相反數(shù)，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小為29，此時(shí)k5，則N5440.故選A.2(20xx全國卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804029】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得Snn11，2.22.3(20xx全國卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)(1)n，Sn.4.(20xx全國卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1902900311 893.