高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第11講直線與圓題型1圓的方程(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第38頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓典題試解尋法【典題1】(考查應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)求圓的方程)(20xx山西運(yùn)城二模)已知圓C截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，圓心C到直線l：x2y0的距離為，且圓C被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為31，則圓C的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804079】解析設(shè)圓C的方程為(xa)2(yb)2r2，則點(diǎn)C到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|.由題意可知或故所求圓C的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22【典題2】(考查待定系數(shù)法求圓的方程)(20xx廣東七校聯(lián)考)一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x3y0上，且在直線yx上截得的弦長(zhǎng)為2，則該圓的方程為_思路分析法一：利用圓心在直線x3y0上設(shè)圓心坐標(biāo)為(3a，a)利用半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形列出關(guān)于a的方程，求解a的值得出圓的方程；法二：設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2利用條件列出關(guān)于a，b，r的方程組解方程組，得出圓的方程；法三：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0利用條件列出關(guān)于D、E、F的方程組解方程組，得出圓的方程解析法一：(幾何法)所求圓的圓心在直線x3y0上，設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)，又所求圓與y軸相切，半徑r3|a|，又所求圓在直線yx上截得的弦長(zhǎng)為2，圓心(3a，a)到直線yx的距離d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.法二：(待定系數(shù)法：標(biāo)準(zhǔn)方程)設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則由于所求圓與y軸相切，r2a2，又所求圓的圓心在直線x3y0上，a3b0，聯(lián)立，解得或故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.法三：(待定系數(shù)法：一般方程)設(shè)所求的圓的方程為x2y2DxEyF0，則圓心坐標(biāo)為，半徑r.在圓的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圓與y軸相切，0，則E24F.圓心到直線yx的距離為d，由已知得d2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圓心在直線x3y0上，D3E0.聯(lián)立，解得或故所求圓的方程為x2y26x2y10或x2y26x2y10.答案x2y26x2y10或x2y26x2y10類題通法 求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1若直線ykx與圓(x2)2y21的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2xyb0對(duì)稱，則點(diǎn)(k，b)所在的圓為()A.(y5)21B.(y5)21C.(y5)21D.(y5)21A由題意知直線ykx與直線2xyb0互相垂直，所以k.又圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線2xyb0對(duì)稱，故直線2xyb0過圓心(2,0)，所以b4，結(jié)合選項(xiàng)可知，點(diǎn)在圓(y5)21上，故選A.2拋物線y24x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804080】(x1)2y24拋物線y24x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(1,2)，(1，2)，又準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的圓心在x軸，設(shè)圓心坐標(biāo)為O(a,0)，則|OA|OM|，即a(1)，解得a1.圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T3、T11、T13)題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第39頁)核心知識(shí)儲(chǔ)備1直線與圓的位置關(guān)系相交、相切和相離，直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法(1)點(diǎn)線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則dr直線與圓相交，dr直線與圓相切，dr直線與圓相離(2)判別式法：設(shè)圓C：(xa)2(yb)2r2，直線l：AxByC0，聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為，則直線與圓相離0，直線與圓相切0，直線與圓相交0.2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C1：(xa1)2(yb1)2r，圓C2：(xa2)2(yb2)2r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下：(1)dr1r2兩圓外離；(2)dr1r2兩圓外切；(3)|r1r2|dr1r2兩圓相交；(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切；(5)0d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)含典題試解尋法【典題1】(考查弦長(zhǎng)問題)(20xx全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_.解析由直線l：mxy3m0知其過定點(diǎn)(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.答案4【典題2】(考查直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用)(20xx廣東汕頭高三期末)如圖111，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2,4)圖111(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804081】解圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)，因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0y07.于是圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01，因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因?yàn)锽COA2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點(diǎn)，所以5555，解得22t22.因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是22，22類題通法 解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題的方法(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量.(2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1已知P是直線kxy40(k0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2y22y0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若四邊形PACB的最小面積為2，則k的值為()A3B2C1DB將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即x2(y1)21，所以圓C的半徑為1.S四邊形PACB|PA|AC|PA|，可知當(dāng)|CP|最小，即CPl時(shí)，四邊形PACB的面積最小，由最小面積2得|CP|min，由點(diǎn)到直線的距離公式得|CP|min，因?yàn)閗0，所以k2.故選B.2已知雙曲線x2y21的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：xyt0與圓O有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A2,2B0,2C4,4D0,4C雙曲線x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，從而圓O的方程為x2y22.因?yàn)橹本€xyt0與圓O有公共點(diǎn)，所以有，即|t|4，從而實(shí)數(shù)t的取值范圍是4,4，故選C.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第40頁)1(20xx全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()ABC.D2A圓x2y22x8y130的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y4)24，由圓心到直線axy10的距離為1可知1，解得a，故選A.2(20xx全國卷)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804082】A2B8C4D10C設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故選C.3(20xx全國卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y2由題意知a4，b2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，2)，(4,0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.4(20xx全國卷)已知拋物線C：y22x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，2)，求直線l與圓M的方程解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為1，所以O(shè)AOB，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過點(diǎn)P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為22.