高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第13講圓錐曲線中的綜合問題題型1圓錐曲線中的定值問題(對應學生用書第43頁)核心知識儲備·解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等與題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值典題試解尋法·【典題】已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，解得a28，b24.所以C的方程為1.(2)證明：設直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMk·xMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值類題通法 定值問題的常見方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值對點即時訓練·已知橢圓C：1(ab0)的左焦點為F1(，0)，e.圖13­1(1)求橢圓C的方程； (2)如圖13­1，設R(x0，y0)是橢圓C上一動點，由原點O向圓(xx0)2(yy0)24引兩條切線，分別交橢圓于點P，Q，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；(3)在(2)的條件下，試問|OP|2|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由解(1)由題意得，c，e，解得a2，橢圓C的方程為1.(2)由已知，直線OP：yk1x，OQ：yk2x，且與圓R相切，2，化簡得(x4)k2x0y0k1y40，同理，可得(x4)k2x0y0k2y40， k1，k2是方程(x4)k22x0y0ky40的兩個不相等的實數(shù)根，x40，0，k1k2.點R(x0，y0)在橢圓C上，1，即y6x，k1k2.(3)|OP|2|OQ|2是定值18.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立得，解得，xy，同理，可得xy.由k1k2，得|OP|2|OQ|2xyxy18.綜上：|OP|2|OQ|218.題型強化集訓·(見專題限時集訓T3)題型2圓錐曲線中的最值、范圍問題(對應學生用書第44頁)核心知識儲備·1解決圓、圓錐曲線范圍問題的方法(1)圓、圓錐曲線自身范圍的應用，運用圓錐曲線上點的坐標的取值范圍(2)參數(shù)轉化：利用引入?yún)?shù)法轉化為三角函數(shù)來解決(3)構造函數(shù)法：運用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識2求最值的方法(1)代數(shù)法：設變量、建立目標函數(shù)、轉化為求函數(shù)的最值注意靈活運用配方法、導數(shù)法、基本不等式法等(2)幾何法：若題中的條件與結論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決典題試解尋法·【典題】如圖13­2，已知橢圓y21上兩個不同的點A，B關于直線ymx對稱圖13­2(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點). 【導學號：07804094】解(1)由題意知m0，可設直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220.設M為AB的中點，則M，代入直線方程ymx，解得b.由得m或m.(2)令t，則|AB|·，且O到直線AB的距離d.設AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|·d，當且僅當t2時，等號成立故AOB面積的最大值為.類題通法在研究直線與圓錐曲線位置關系時，常涉及弦長、中點、面積等問題.一般是先聯(lián)立方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關系，用設而不求，整體代入的技巧進行求解.易錯警示：在設直線方程時，若要設成ykxm的形式，注意先討論斜率是否存在；若要設成xtyn的形式，注意先討論斜率是否為0.對點即時訓練·如圖13­3，點F1為圓(x1)2y216的圓心，N為圓F1上一動點，且F2(1,0)，M，P分別是線段F1N，F(xiàn)2N上的點，且滿足·0，2.圖13­3(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)過點F2的直線l(與x軸不重合)與軌跡E交于A，C兩點，線段AC的中點為G，連接OG并延長交軌跡E于點B(O為坐標原點)，求四邊形OABC的面積S的最小值解(1)由題意，知MP垂直平分F2N，所以|MF1|MF2|4.所以動點M的軌跡是以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點的橢圓，且長軸長為2a4，焦距2c2，所以a2，c1，b23.軌跡E的方程為1.(2)設A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)設直線AC的方程為xmy1，與橢圓方程聯(lián)立，可得(43m2)y26my90，所以y1y2，y1y2.由弦長公式可得|AC|y1y2|，又y0，所以G.直線OG的方程為yx，與橢圓方程聯(lián)立得x2，所以B.點B到直線AC的距離d1，點O到直線AC的距離d2.所以S四邊形OABC|AC|(d1d2)63，當且僅當m0時取得最小值3.題型強化集訓·(見專題限時集訓T1、T4)題型3圓錐曲線中的探索性問題(答題模板)(對應學生用書第45頁)圓錐曲線中的存在性(探索性)問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)探索點是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否存在涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關系問題(20xx·全國卷T20、20xx·全國卷T20)典題試解尋法·【典題】(本小題滿分12分)(20xx·全國卷)在直角坐標系xOy中，(1)當k0時，分別求C在；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有？說明理由審題指導題眼挖掘關鍵信息看到直線與曲線C相交，想到設點、聯(lián)立方程、消元，表示x1x2，x1x2的值.看到曲線上某點處的切線，想到利用導數(shù)法求切線斜率；看到兩角相等，想到把角的相等轉化為直線斜率的關系.規(guī)范解答(1)由題設可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).2分，C在點(2，a)處的切線方程為 ya(x2)，即xya0.4分y在2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.5分6分(2)存在符合題意的點證明如下：設P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.8分故x1x24k，x1x24a.從而.10分當ba時，有k1k20.則直線PM的傾斜角與直,線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意.12分閱卷者說易錯點防范措施忽視導數(shù)法求切線斜率導致思路不清.明確求切線斜率的方法，導數(shù)法求曲線上某點處的導數(shù)就等于該點處切線的斜率.忽視直線的形式及解答題的得分點失分.表示直線方程時無特殊要求一般采用直線的一般式，結論性、總結性的語句是得分點，一定不能省.忽視化簡、消元致錯.當式子中未知數(shù)較多時要注意消元，如此處把y1，y2代換為x1，x2，再利用根與系數(shù)的關系求解.忽視轉化致思路不清.把條件轉化為熟知的知識，進而利用根與系數(shù)的關系，知OPMOPN轉化為kPMkPN0.類題通法1定點問題的解法：(1)直線過定點：化為yy0k(xx0)，當xx00時與k無關(2)曲線過定點：利用方程f(x，y)0對任意參數(shù)恒成立得出關于x，y的方程組，進而求出定點2存在性問題的解題步驟：一設：設滿足條件的元素(點、直線等)存在；二列：用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組；三解：解方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線等)存在；否則，元素(點、直線等)不存在對點即時訓練·已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2xy60相切(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知點A，B為動直線yk(x2)(k0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得2·為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由. 【導學號：07804095】解(1)由e，得，即ca，又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2y2a2，且該圓與直線2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以橢圓C的標準方程為1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根據(jù)題意，假設x軸上存在定點E(m,0)，使得2·()··為定值，則·(x1m，y1)·(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式為定值，即與k無關，只需3m212m103(m26)，解得m，此時，2·m26，所以在x軸上存在定點E使得2·為定值，且定值為.題型強化集訓·(見專題限時集訓T2)三年真題| 驗收復習效果(對應學生用書第46頁)1(20xx·全國卷)已知橢圓C：1(ab0)四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上(1)求C的方程(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點解(1)由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點又由知，橢圓C不經(jīng)過點P1，所以點P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.動圓圓心M的軌跡C的方程為y24x.(2)證明：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設l：xt，由題設知t0，且|t|2，可得A，B的坐標分別為，則k1k21，得t2，不符合題設從而可設l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設可知16(4k2m21)>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)·(m1)·0，解得k.當且僅當m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1)2(20xx·全國卷)設圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因為|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標準方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為1(y0)(2)當l與x軸不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，則x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.過點B(1,0)且與l垂直的直線m：y(x1)，點A到直線m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN| PQ|12.可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)當l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，故四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)