高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第9講空間中的平行與垂直關(guān)系題型1空間位置關(guān)系的判斷與證明(對應(yīng)學(xué)生用書第30頁)核心知識儲備·1直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a，b，aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.2直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala.典題試解尋法·【典題1】(考查空間位置關(guān)系的判斷)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l解析根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示由圖可知與相交，且交線平行于l，故選D.答案D【典題2】(考查空間位置關(guān)系的證明)如圖9­1，在三棱錐P­ABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)圖9­1(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PAC；(3)當(dāng)PA平面BDE時，求三棱錐E­BCD的體積思路分析(1)通過證明PA平面ABC得PABD；(2)通過證明BD平面PAC得面面垂直；(3)由PA平面BDE，D為AC的中點(diǎn)得PA與DE的位置及數(shù)量關(guān)系，從而求出三棱錐的體積解(1)證明：因為PAAB，PABC，且ABBCB，所以PA平面ABC.又因為BD平面ABC，所以PABD.(2)證明：因為ABBC，D為AC的中點(diǎn)，所以BDAC.由(1)知，PABD，且PAACA，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.(3)因為PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因為D為AC的中點(diǎn)，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱錐E­BCD的體積VBD·DC·DE.類題通法 平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化對點(diǎn)即時訓(xùn)練·如圖9­2所示，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD.圖9­2(1)求證：平面PAB平面PCD；(2)求三棱錐D­PBC的體積. 【導(dǎo)學(xué)號：07804065】解(1)法一：(幾何法)因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA.因為PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又CDPDD，所以PA平面PCD.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD.法二：(向量法)取AD的中點(diǎn)O、BC的中點(diǎn)Q，連接OP，OQ，易知OQAD.因為PAPD，所以POAD，因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由PAPDAD，知OP1.則O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，Q(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，又(0,2,0)，(1,0,1)，則即令x1，則n(1,0，1)同理，可求得平面PAB的一個法向量為m(1,0，1)，又n·m1×10×0(1)×(1)0，故平面PAB平面PCD.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接OP，如圖因為PAPD，所以POAD.因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.即PO為三棱錐P­BCD的高，由PAPDAD，知OP1.因為底面ABCD是正方形，所以SBCD×2×22.所以V三棱錐D­PBCV三棱錐P­BCDPO·SBCD×1×2.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時集訓(xùn)T1、T3、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14)題型2平面圖形的翻折問題(對應(yīng)學(xué)生用書第31頁)核心知識儲備·翻折問題的注意事項(1)畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖(2)把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)(3)準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是進(jìn)行準(zhǔn)確計算的基礎(chǔ)典題試解尋法·【典題】(20xx·全國卷)如圖9­3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD.圖9­3(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角B­DA­C的正弦值思路分析(1)題設(shè)條件翻折,DHEFDHOHDH平面ABCD；(2)建系求法向量求二面角的余弦值求二面角的正弦值解(1)證明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因為EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H­xyz，則H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則即所以可取m(4,3，5)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n.sinm，n.因此二面角B­DA­C的正弦值是.類題通法 平面圖形翻折問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變和不變，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.對點(diǎn)即時訓(xùn)練·如圖9­4(1)，在四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EFAB，現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC，如圖9­4(2)圖9­4(1)圖9­4(2)(1)若BE1，在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P，且，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；(2)求三棱錐A­CDF體積的最大值，并求此時二面角E­AC­F的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：07804066】解因為平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDCEF，F(xiàn)DEF，所以FD平面ABEF.又AF平面ABEF，所以FDAF.易知AFEF，又FDEFF，所以AF平面EFDC.(1)以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則F(0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,5,0)，C(2,3,0)，.若CP平面ABEF，則，即·0，即0，解得.AD上存在一點(diǎn)P，當(dāng)時，滿足CP平面ABEF.(2)設(shè)BEx，則AFx(0x4)，所以三棱錐A­CDF的體積Vx××2(6x)x(6x)×3.當(dāng)x3時，三棱錐A­CDF的體積V有最大值，最大值為3.此時A(0,0,3)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，則(0,0,3)，(2,1,0)設(shè)平面ACE的法向量m(x1，y1，z1)，則即令x13，則m(3,0,2)設(shè)平面ACF的法向量n(x2，y2，z2)，則即令x21，則n(1，2,0)cosm，n，則二面角E­AC­F的余弦值為.題型強(qiáng)化集訓(xùn)·(見專題限時集訓(xùn)T2、T4、T5、T11、T13)三年真題| 驗收復(fù)習(xí)效果(對應(yīng)學(xué)生用書第32頁)1(20xx·全國卷)平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為() 【導(dǎo)學(xué)號：07804067】A.BC.DA設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.2(20xx·全國卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.BC.DC法一：(幾何法)將直三棱柱ABC­A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.圖由題意知ABC120°，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60°.在ABD中，由余弦定理知BD222122×2×1×cos 60°3，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C.法二：(向量法)以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示圖由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，則(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為.故選C.3(20xx·全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)對于，可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對于，因為，所以，沒有公共點(diǎn)又m，所以m，沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m，故正確對于，因為mn，所以m與所成的角和n與所成的角相等因為，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確4(20xx·全國卷)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；直線AB與a所成角的最小值為45°；直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是_(填寫所有正確結(jié)論的編號)依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓設(shè)直線a的方向向量為a(0,1,0)，直線b的方向向量為b(1,0,0)，以O(shè)x軸為始邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為，0,2)，則B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.設(shè)直線AB與a所成夾角為，則cos |sin |，45°90°，正確，錯誤設(shè)直線AB與b所成夾角為，則cos |cos |.當(dāng)直線AB與a的夾角為60°，即60°時，則|sin |cos cos 60°，|cos |.cos |cos |.0°90°，60°，即直線AB與b的夾角為60°.正確，錯誤5(20xx·全國卷)如圖9­5，四邊形ABCD為菱形，ABC120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.圖9­5(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：07804068】解(1)證明：如圖，連接BD，設(shè)BDACG，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB1.由ABC120°，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.從而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因為EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向為x軸，y軸正方向，|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G­xyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(xiàn)，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.