高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第一節(jié)第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程直線的傾斜角與斜率、直線的方程 考綱傳真 1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 110 頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充 1直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角，當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為 0. (2)傾斜角的范圍為0，180) 2直線的斜率 (1)定義：一條直線的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即ktan_，傾斜角是 90的直線斜率不存在 (2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為ky2y1x2x1. 3直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 yy0k(xx0) 不含直線xx0 斜截式 ykxb 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 yy1y2y1xx1x2x1 不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2) 截距式 xayb1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 AxByC0， A2B20 平面內(nèi)所有直線都適用 知識(shí)拓展 1直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 在直線方程中，若x或y的系數(shù)含有字母參數(shù)，則直線恒過(guò)定點(diǎn) 如直線l：(2m1)x(m1)y7m40，可將方程化為 m(2xy7)xy40，令 2xy70 xy40，得 x3y1，即直線恒過(guò)定點(diǎn)(3,1) 2直線“陡”、“緩”與斜率k的關(guān)系 在平面直角坐標(biāo)系中，直線越“陡”，|k|越大 3直線在x，y軸上的截距問(wèn)題 當(dāng)直線在x，y軸上的截距相等或互為相反數(shù)時(shí)，應(yīng)分兩種情況討論：一是直線過(guò)原點(diǎn)；二是直線不過(guò)原點(diǎn)(待定系數(shù)法) 基本能力自測(cè) 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置( ) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率( ) (3)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可用方程yy0k(xx0)表示( ) (4)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改編)直線 3xya0(a為常數(shù))的傾斜角為( ) A30 B60 C150 D120 B B 直線的斜率為ktan 3， 又因?yàn)?0180，則60. 3(20 xx泉州模擬)已知直線l過(guò)圓x2(y3)24 的圓心，且與直線xy10 垂直，則直線l的方程是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090264】 Axy20 Bxy20 Cxy30 Dxy30 D D 圓x2(y3)24 的圓心為點(diǎn)(0,3)，又因?yàn)橹本€l與直線xy10 垂直，所以直線l的斜率k1.由點(diǎn)斜式得直線l：y3x0，化簡(jiǎn)得xy30. 4直線l：axy2a0 在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a_. 1 或2 令x0，則l在y軸上的截距為 2a；令y0，得直線l在x軸上的截距為12a. 依題意 2a12a，解得a1 或a2. 5(20 xx西安模擬)過(guò)點(diǎn)P(2,3)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程為_(kāi) 3x2y0 或xy10 當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y32x，即 3x2y0. 當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xaya1. 將P(2,3)代入方程，得a1， 所以直線l的方程為xy10. 綜上，所求直線l的方程為 3x2y0 或xy10. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 111 頁(yè)) 直線的傾斜角和斜率 (1)直線xycos 10(R R)的傾斜角的取值范圍是_ (2)(20 xx鄭州模擬)若直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與以A(2，3)，B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是_ (1)4，34 (2)5，13 (1)當(dāng)k2(kZ Z)時(shí)，cos 0，直線為x10，其傾斜角為2. 當(dāng)k2(kZ Z)時(shí)，直線l的斜率為 tan 1cos (，11，)， 所以直線l的傾斜角的取值范圍是4，22，34. 綜上，的取值范圍是4，34. (2)因?yàn)镻(3,2)，A(2，3)，B(3,0)，則kPA3225， kPB02313. 如圖所示，當(dāng)直線l與線段AB相交時(shí)，直線l的斜率的取值范圍為5，13. 規(guī)律方法 1.(1)任一直線都有傾斜角， 但斜率不一定都存在； 直線傾斜角的范圍是0，)，斜率的取值范圍是 R R. (2)正切函數(shù)在0，)上不單調(diào)，借助圖像或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角的取值范圍 2第(2)問(wèn)求解要注意兩點(diǎn)： (1)斜率公式的正確應(yīng)用； (2)數(shù)形結(jié)合寫(xiě)出斜率的范圍，切莫誤認(rèn)為k5 或k13. 變式訓(xùn)練 1 (1)(20 xx長(zhǎng)沙模擬)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率k的取值范圍是( ) A1k15 Bk1 或k12 Ck15或k1 Dk12或k1 (2)直線l經(jīng)過(guò)A(3,1)，B(2，m2)(mR R)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是_ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090265】 (1 1)D D (2 2) 4，2 (1)設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y2k(x1)，直線在x軸上的截距為 12k. 令312k3，解不等式得k1 或k12. (2)直線l的斜率k1m2321m21，所以ktan 1. 又ytan 在0，2上是增函數(shù)，因此42. 求直線的方程 (1)直線過(guò)點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為1010的直線方程為_(kāi) (2)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，則BC邊上的中線AD所在直線的方程為_(kāi) (3)若A(1，2)，B(5,6)，直線l經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)M且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程 (1)x3y40 或x3y40 (2)2x3y60 (1)由題設(shè)知， 該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式 設(shè)傾斜角為，則 sin 1010(0)， 從而 cos 3 1010，則ktan 13. 故所求直線方程為y13(x4) 即x3y40 或x3y40. (2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)， 則x2220，y1322. BC邊上的中線AD過(guò)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)， 由截距式得AD所在直線方程為x3y21，即 2x3y60. (3)法一：設(shè)直線l在x軸、y軸上的截距均為A 由題意得M(3,2) 若a0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2)， 所以直線l的方程為y23x， 即 2x3y0. 若a0，設(shè)直線l的方程為xaya1， 因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(3,2)，所以3a2a1， 所以a5，此時(shí)直線l的方程為x5y51， 即xy50. 綜上，直線l的方程為 2x3y0 或xy50. 法二：易知M(3,2)，由題意知所求直線l的斜率k存在且k0，則直線l的方程為y2k(x3) 令y0，得x32k；令x0，得y23k. 所以 32k23k，解得k1 或k23. 所以直線l的方程為y2(x3)或y223(x3)， 即xy50 或 2x3y0. 規(guī)律方法 1.截距可正、 可負(fù)、 可為 0， 因此在解與截距有關(guān)的問(wèn)題時(shí)， 一定要注意“截距為 0”的情況，以防漏解 2求直線方程的方法主要有兩種：直接法與待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法要先設(shè)出直線方程，再根據(jù)條件求出待定系數(shù)利用此方法，注意各種形式直線方程的適用條件，選擇適當(dāng)?shù)男问街陵P(guān)重要 變式訓(xùn)練 2 (1)直線過(guò)點(diǎn)(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為 12 的直線方程為_(kāi) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090266】 (2)求過(guò)點(diǎn)A(1，3)且傾斜角等于直線y3x的傾斜角的 2 倍的直線方程 4xy160 或x3y90 (1)由題設(shè)知縱橫截距不為 0，設(shè)直線方程為xay12a1，又直線過(guò)點(diǎn)(3,4)， 從而3a412a1，解得a4 或a9. 故所求直線方程為 4xy160 或x3y90. (2)設(shè)直線y3x的傾斜角為， 則所求直線的傾斜角為 2. tan 3， tan 22tan 1tan234. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)， 因此所求直線方程為y334(x1)，即 3x4y150. 直線方程的綜合應(yīng)用 已知直線l：kxy12k0(kR R) (1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)； (2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程 解 (1)證明：直線l的方程可化為k(x2)(1y)0， 令 x20，1y0，解得 x2，y1. 無(wú)論k取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,1) (2)由方程知，當(dāng)k0 時(shí)直線在x軸上的截距為12kk，在y軸上的截距為 12k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有 12kk2，12k1，解得k0； 當(dāng)k0 時(shí)，直線為y1，符合題意，故k的取值范圍是0，) (3)由題意可知k0，再由l的方程， 得A12kk，0 ，B(0,12k) 依題意得 12kk0，12k0， 解得k0. S12|OA|OB|1212kk|12k| 122k2k124k1k4 12(224)4， “”成立的條件是k0 且 4k1k，即k12， Smin4，此時(shí)直線l的方程為x2y40. 規(guī)律方法 在求直線方程的過(guò)程中，若有以直線為載體的求面積、距離的最值問(wèn)題，則可先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值 變式訓(xùn)練 3 已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng) 0a2 時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成一個(gè)四邊形，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形的面積最??？ 解 直線l1的方程可化為a(x2)2y40.直線l2的方程可化為 2x4a2(y2)0，因此直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)A(2,2)(如圖) 易知|OB|a22，|OC|2a， 則S四邊形OBACSAOBSAOC122(a22)122(2a)a2a4a122154，a(0,2)， 當(dāng)a12時(shí)，四邊形OBAC的面積最小