高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.53 個(gè)附加題個(gè)附加題專項(xiàng)強(qiáng)化練專項(xiàng)強(qiáng)化練(二二)隨機(jī)變量隨機(jī)變量、 空間向量空間向量、 拋物線拋物線(理科理科)1.如圖如圖，在直三棱柱在直三棱柱 ABCA1B1C1中中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)設(shè)設(shè) AD AB，異面直線，異面直線 AC1與與 CD 所成角的余弦值為所成角的余弦值為9 1050，求，求的值；的值；(2)若點(diǎn)若點(diǎn) D 是是 AB 的中點(diǎn)，求二面角的中點(diǎn)，求二面角 DCB1B 的余弦值的余弦值解解：(1)由由 AC3，BC4，AB5，得，得ACB90，故直線，故直線 CA，CB，CC1兩兩垂直以兩兩垂直以 CA，CB，CC1所在直線分別為所在直線分別為 x 軸、軸、y 軸、軸、z 軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則 A(3，0,0)，C1(0，0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，設(shè)，設(shè) D(x，y，z)，則由，則由 AD AB，得，得 CD(33，4，0)，而而 AC1(3,0,4)，根據(jù)題意知根據(jù)題意知9 1050|995 252189|，解得，解得15或或13.(2)由由(1)知知 CD32，2，0， CB1(0,4,4)，設(shè)平面設(shè)平面 CDB1的法向量為的法向量為 n1(x1，y1，z1)，則則n1 CD0，n1 CB10，即即32x12y10，4y14z10，取取 x14，則則 y13，z13，故故 n1(4，3,3)為平面為平面 CDB1的一個(gè)法向量，的一個(gè)法向量，而平面而平面 CBB1的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n2(1,0,0)，并且，并且n1，n2與二面角與二面角 DCB1B 相等，相等，所以二面角所以二面角 DCB1B 的余弦值為的余弦值為 cosn1，n24342 3417.故二面角故二面角 DCB1B 的余弦值為的余弦值為2 3417.2甲、乙、丙分別從甲、乙、丙分別從 A，B，C，D 四道題中獨(dú)立地選做兩道題，其中甲必選四道題中獨(dú)立地選做兩道題，其中甲必選 B 題題(1)求甲選做求甲選做 D 題，且乙、丙都不選做題，且乙、丙都不選做 D 題的概率；題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 表示表示 D 題被甲題被甲、 乙乙、 丙選做的次數(shù)丙選做的次數(shù)， 求求 X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E(X)解：解：(1)設(shè)設(shè)“甲選做甲選做 D 題，且乙、丙都不選做題，且乙、丙都不選做 D 題題”為事件為事件 E.甲選做甲選做 D 題的概率為題的概率為C11C1313，乙，丙不選做，乙，丙不選做 D 題的概率都是題的概率都是C23C2412.則則 P(E)131212112.故甲選做故甲選做 D 題，且乙、丙都不選做題，且乙、丙都不選做 D 題的概率為題的概率為112.(2)X 的所有可能取值為的所有可能取值為 0,1,2,3.P(X0)113 121216，P(X1)13122113 C12112 12 512，P(X2)13C12112 12 113 C22112213，P(X3)13C221122112.所以所以 X 的概率分布為的概率分布為X0123P1651213112故故 X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 E(X)0161512213311243.3.如圖如圖， 以正四棱錐以正四棱錐 VABCD 的底面中心的底面中心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系 Oxyz，其中，其中 OxBC，OyAB，E 為為 VC 的中點(diǎn)，正四棱錐的中點(diǎn)，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為的底面邊長(zhǎng)為 2a，高為，高為 h，且有，且有 cos BE， DE1549.(1)求求ha的值；的值；(2)求二面角求二面角 BVCD 的余弦值的余弦值解解： (1)由題意由題意， 可得可得 B(a， a,0)， C(a， a,0)， D(a， a,0)， V(0， 0， h)， Ea2，a2，h2 ， BE3a2，a2，h2 ， DEa2，3a2，h2 .故故 cos BE， DEh26a2h210a2，又又 cos BE， DE1549，h26a2h210a21549，解得，解得ha32.(2)由由ha32，得，得 BE3a2，a2，3a4 ， DEa2，3a2，3a4 .且且 CB(2a,0,0)， DC(0,2a,0)設(shè)平面設(shè)平面 BVC 的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n1(x1，y1，z1)，則則n1 BE0，n1 CB0，即即3a2x1a2y13a4z10，2ax10，取取 y13，得，得 n1(0,3,2)，設(shè)平面設(shè)平面 VCD 的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n2(x2，y2，z2)，則則n2 DE0，n2 DC0，即即a2x23a2y23a4z20，2ay20，取取 x23，得，得 n2(3,0,2)，cosn1，n2n1n2|n1|n2|413.由圖象知二面角由圖象知二面角 BVCD 的平面角為鈍角的平面角為鈍角二面角二面角 BVCD 的余弦值為的余弦值為413.4在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中，已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn) M(1，3)，N(5,1)，若點(diǎn)若點(diǎn) C 的坐標(biāo)滿足的坐標(biāo)滿足 OCtOM(1t) ON(tR)，且點(diǎn)，且點(diǎn) C 的軌跡與拋物線的軌跡與拋物線 y24x 交于交于 A，B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)求證：求證：OAOB；(2)在在 x 軸上是否存在一點(diǎn)軸上是否存在一點(diǎn) P(m,0)，使得過點(diǎn)，使得過點(diǎn) P 任作一條拋物線的弦，并以該弦為直徑任作一條拋物線的弦，并以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)若存在，求出的圓都過原點(diǎn)若存在，求出 m 的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解解：(1)證明證明：由由 OCtOM(1t) ON(tR)，可知點(diǎn)可知點(diǎn) C 的軌跡是的軌跡是 M，N 兩點(diǎn)所在的兩點(diǎn)所在的直線，直線，所以點(diǎn)所以點(diǎn) C 的軌跡方程為的軌跡方程為 y31 3 51(x1)，即即 yx4.聯(lián)立聯(lián)立yx4，y24x，化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 x212x160,設(shè)設(shè) C 的軌跡方程與拋物線的軌跡方程與拋物線 y24x 的交點(diǎn)坐標(biāo)為的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則則 x1x212，x1x216，y1y2(x14)(x24)x1x24(x1x2)1616，因?yàn)橐驗(yàn)?OA OBx1x2y1y216160,所以所以 OAOB.(2)假設(shè)存在這樣的假設(shè)存在這樣的 P 點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)，并設(shè) AB 是過拋物線的弦，且是過拋物線的弦，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其方程，其方程為為 xnym，代入代入 y24x 得得 y24ny4m0,此時(shí)此時(shí) y1y24n，y1y24m，所以所以 kOAkOBy1x1y2x2y1y214y2y22416y1y24m1，所以所以 m4(定值定值)，故存在這樣的點(diǎn)，故存在這樣的點(diǎn) P(4,0)滿足題意滿足題意設(shè)設(shè) AB 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 T(x，y)，則則 y12(y1y2)2n，x12(x1x2)12(ny14ny24)n2(y1y2)42n24，消去消去 n得得 y22x8.5某小區(qū)停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為某小區(qū)停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每車每次停車時(shí)間不超過每車每次停車時(shí)間不超過 2 小時(shí)免費(fèi)小時(shí)免費(fèi)，超過超過 2 小時(shí)的小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)部分每小時(shí)收費(fèi) 1 元元(不足不足 1 小時(shí)的部分按小時(shí)的部分按 1 小時(shí)計(jì)算小時(shí)計(jì)算)現(xiàn)有甲現(xiàn)有甲、乙兩人獨(dú)立來停車場(chǎng)停車乙兩人獨(dú)立來停車場(chǎng)停車(各停車一次各停車一次)，且兩人停車時(shí)間均不超過，且兩人停車時(shí)間均不超過 5 小時(shí)設(shè)甲、乙兩人停車時(shí)間小時(shí)設(shè)甲、乙兩人停車時(shí)間(小時(shí)小時(shí))與取車概率與取車概率如下表所示如下表所示.停車停車時(shí)間時(shí)間取車概率停車人員取車概率停車人員(0,2(2,3(3,4(4,5甲甲12xxx乙乙1613y0(1)求甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率；求甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E()解：解：(1)由題意得由題意得123x1，解得，解得 x16，由由1613y1，解得，解得 y12.記甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的事件為記甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的事件為 A，則則 P(A)12161613161229，故甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率為故甲、乙兩人所付車費(fèi)相同的概率為29.(2)設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量設(shè)甲、乙兩人所付停車費(fèi)之和為隨機(jī)變量，的所有取值為的所有取值為 0,1,2,3,4,5.P(0)1216112，P(1)12131616736，P(2)16161613121213，P(3)16161613161216， P(4)16121613536，P(5)1612112.所以所以的概率分布為：的概率分布為：012345P1127361316536112的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 E()011217362133164536511273.6.在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中，已知拋物線已知拋物線 x22py(p0)上上的點(diǎn)的點(diǎn) M(m,1)到焦點(diǎn)到焦點(diǎn) F 的距離為的距離為 2.(1)求拋物線的方程；求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn) E 是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，拋物線在點(diǎn) E處的切線與處的切線與 x 軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn) P，直線，直線 PF 與拋物線相交于與拋物線相交于 A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求EAB 面積的最小值面積的最小值解：解：(1)拋物線拋物線 x22py(p0)的準(zhǔn)線方程為的準(zhǔn)線方程為 yp2，因?yàn)椋驗(yàn)?M(m,1)到焦點(diǎn)到焦點(diǎn) F 的距離為的距離為 2，由拋物線定義，知由拋物線定義，知 MF1p22，即，即 p2，所以拋物線的方程為，所以拋物線的方程為 x24y.(2)因?yàn)橐驗(yàn)?y14x2，所以，所以 y12x.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) Et，t24 ，t0，則拋物線在點(diǎn)，則拋物線在點(diǎn) E 處的切線方程為處的切線方程為 yt2412t(xt)令令 y0，則，則 xt2，即點(diǎn)，即點(diǎn) Pt2，0.因?yàn)橐驗(yàn)?Pt2，0，F(xiàn)(0,1)，所以直線，所以直線 PF 的方程為的方程為 y2txt2 ，即，即 2xtyt0.則點(diǎn)則點(diǎn) Et，t24 到直線到直線 PF 的距離為的距離為 d|2tt34t|4t2|t| 4t24.聯(lián)立方程聯(lián)立方程yx24，2xtyt0，消去消去 x，得，得 t2y2(2t216)yt20.設(shè)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橐驗(yàn)?2t216)24t464(t24)0，y1y22t216t2，所以所以 ABy11y21y1y222t216t224 t24 t2.所以所以EAB 的面積為的面積為 S124 t24 t2|t| 4t2412 t24 32|t|.不妨設(shè)不妨設(shè) g(x) x24 32x(x0)，則則 g(x) x24 12x2(2x24)因?yàn)橐驗(yàn)?x(0， 2)時(shí)，時(shí)，g(x)0，所以，所以 g(x)在在( 2，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增所以當(dāng)所以當(dāng) x 2時(shí)，時(shí)，g(x)min 24 3226 3.所以所以EAB 的面積的面積 Smin126 33 3.所以所以EAB 的面積的最小值為的面積的最小值為 3 3.