高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 高考數(shù)學(xué)壓軸題精編精解 1．設(shè)函數(shù)，，其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。 （I）求函數(shù)的解析式； （II）畫出函數(shù)的圖象并指出的最小值。 2．已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證: （Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時(shí),. 3．已知定義在R上的函數(shù)f(x) 同時(shí)滿足： （1）（R，a為常數(shù)）； （2）；（3）當(dāng)時(shí)，≤2 求：（Ⅰ）函數(shù)的解析式；（Ⅱ）常數(shù)a的取值范圍． 4．設(shè)上的兩點(diǎn)， 滿足，橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為2，0為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值； （3）試問(wèn)：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 5．已知數(shù)列中各項(xiàng)為：個(gè) 個(gè) 12、1122、111222、……、 …… （1）證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積. （2）求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn . 6、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 7、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線L:x=-1相切，點(diǎn)C在l上. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程； （i）問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由 （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍. 8、定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且對(duì)任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求證：f(0)=1；（2）求證：對(duì)任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)f(2x-x2)>1，求x的取值范圍。 9、已知二次函數(shù)滿足，且關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間（-3，-2），（0，1）內(nèi)。 （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若函數(shù)在區(qū)間（-1-，1-）上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)C的取值范圍 10、已知函數(shù)且任意的、都有 （1）若數(shù)列 （2）求的值. 11.在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，－1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足① , ②= = ③∥ （1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程 （2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知∥ , ∥且= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值. 12．已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項(xiàng). ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式； ⑵ 求證：； ⑶ 求證： 13．（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列； （Ⅲ）證明： 14．已知函數(shù) （I）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （II）當(dāng)時(shí)，（1）求證：對(duì)任意的，的充要條件是； （2）若關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有兩個(gè)實(shí)根，求證：且的充要條件是 15．已知數(shù)列{a n}前n項(xiàng)的和為S n，前n項(xiàng)的積為，且滿足。 ①求 ；②求證：數(shù)列{a n}是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a，使得對(duì)都成立？ 若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由。 16、已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，其圖像均在x軸的上方，對(duì)任意的，都有，且，又當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)恒成立。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式：，其中 17、一個(gè)函數(shù)，如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)都在的定義域內(nèi)，就有也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“保三角形函數(shù)”． （I）判斷，，中，哪些是“保三角形函數(shù)”，哪些不是，并說(shuō)明理由； （II）如果是定義在上的周期函數(shù)，且值域?yàn)?，證明不是“保三角形函數(shù)”； （III）若函數(shù)，是“保三角形函數(shù)”，求的最大值． （可以利用公式） 18、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：（a為常數(shù)，且）． （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值； （Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn . 求證：． 19、數(shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列。 （I）求的值； （II）求的通項(xiàng)公式。 （III）由數(shù)列中的第1、3、9、27、……項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求的值。 20、已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足. （I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程； （II）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說(shuō)明理由. 21．飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km,C在B的北偏東300，相距4km,P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻A接到P的求救信號(hào)，由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s. （1）求A、C兩個(gè)救援中心的距離；（2）求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角； （3）若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出，則A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小，并證明你的結(jié)論. C B A 22．已知函數(shù)，， 的最小值恰好是方程的三個(gè)根，其中．（Ⅰ）求證：； （Ⅱ）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)． ①若，求函數(shù)的解析式；②求的取值范圍． 23．如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）. （I）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C； （II）若過(guò)點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍. 24．設(shè)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） （I）求p與q的關(guān)系； （II）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍； （III）證明： ①； ②（n∈N，n≥2）. 25．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：（a為常數(shù)，且）． （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值； （Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：． 26、對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、，且． （Ⅰ）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列滿足，求證：； （Ⅲ）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：． 27、已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且對(duì)于定義域內(nèi)的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a為正常數(shù)），當(dāng)0 < x < 2a時(shí)，f（x） > 0．（I）判斷f（x）奇偶性；（II）證明f（x）為周期函數(shù)； （III）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值． 28、已知點(diǎn)R（－3,0）,點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上 ,且滿足，.（Ⅰ）⑴當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程； （Ⅱ）設(shè)為軌跡C上兩點(diǎn)，且，N(1,0)，求實(shí)數(shù)，使，且 29、已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為，過(guò)左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為. （Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）求證： ()；（Ⅲ）求面積的最大值. 30、已知拋物線，點(diǎn)P（1，－1）在拋物線C上，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0. （I）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)； （II）若點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡方程. 31．設(shè)函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線的斜率分別為．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若函數(shù)的遞增區(qū)間為，求的取值范圍；（Ⅲ）若當(dāng)時(shí)（k是與無(wú)關(guān)的常數(shù)），恒有，試求k的最小值． 32．如圖，轉(zhuǎn)盤游戲．轉(zhuǎn)盤被分成8個(gè)均勻的扇形區(qū)域．游戲規(guī)則：用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是游戲所得的點(diǎn)數(shù)（轉(zhuǎn)盤停留的位置是隨機(jī)的）．假設(shè)箭頭指到區(qū)域分界線的概率為，同時(shí)規(guī)定所得點(diǎn)數(shù)為0．某同學(xué)進(jìn)行了一次游戲，記所得點(diǎn)數(shù)為．求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（數(shù)學(xué)期望結(jié)果保留兩位有效數(shù)字） 33．設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)． （1）當(dāng)，且，時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)、． Q（x，y） M F1 F2 O y x （2）、是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知的半徑是1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)的作切線，使得（是切點(diǎn)），如下圖．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 34．已知數(shù)列滿足, ，． （1）求證：是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，且對(duì)于恒成立，求的取值范 35．已知集合（其中為正常數(shù)）． （1）設(shè)，求的取值范圍； （2）求證：當(dāng)時(shí)不等式對(duì)任意恒成立； （3）求使不等式對(duì)任意恒成立的的范圍． 36、已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ； （2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。 37、已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線的距離小1。 （1）求曲線C的方程； （2）過(guò)點(diǎn) ①當(dāng)?shù)姆匠?；②?dāng)△AOB的面積為時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值。 38、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，且過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式． （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． （3）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，，求的通項(xiàng)公式. 39、已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，其中. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)計(jì)算的值. ( 文) 求 . 40、函數(shù)對(duì)任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝. （1）求的值； （2）數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （3）令試比較Tn與Sn的大小。 41．已知數(shù)列的首項(xiàng)（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。 （1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列； （2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值； （3）當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列的最小項(xiàng)。 42．已知拋物線C：上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。 （1）求拋物線C的方程； （2）若過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程； （3）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題． 例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正四棱錐 的體積”．求出體積后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，求側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值”． 現(xiàn)有正確命題：過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C：于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)F。 試給出上述命題的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題。 43．已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l，． (I)寫出，的值; (Ⅱ)試比較與的大小，并說(shuō)明理由； (Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2n－1)． 44．已知函數(shù)f(x)=x3－3ax(a∈R)． (I)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的極小值； (Ⅱ)若直線菇x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值范圍； (Ⅲ)設(shè)g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 45．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{An}，{Bn}，{Cn}，其中 ，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)（B，n）在方向向量為（1，6）的 線上 （1）試用a與n表示； （2）若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，試求a的取值范圍。 46．已知，記點(diǎn)P的軌跡為E. （1）求軌跡E的方程； （2）若直線l過(guò)點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn). （i）無(wú)論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)m的值. （ii）過(guò)P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍. 47．設(shè)x1、 的兩個(gè)極值點(diǎn). （1）若，求函數(shù)f(x)的解析式； （2）若的最大值； （3）若，求證： 48．已知，若數(shù)列{an} 成等差數(shù)列. （1）求{an}的通項(xiàng)an; （2）設(shè) 若{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，且 49．點(diǎn)P在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求雙曲線的離心率； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于兩點(diǎn)，且，，求雙曲線E的方程； （Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（為非零常數(shù)），問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)G，使？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 50.已知函數(shù)，，和直線，又． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）是否存在的值，使直線既是曲線的切線，又是的切線；如果存在，求出的值；如果不存在,說(shuō)明理由． （Ⅲ）如果對(duì)于所有的,都有成立，求的取值范圍． 51．已知二次函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)（1，3）時(shí)，有成立。 （1）證明：。 （2）若的表達(dá)式。 （3）設(shè) ，若圖上的點(diǎn)都位于直線的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 52．（1）數(shù)列{an}和{bn}滿足 （n=1，2，3…），求證{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列。（8分） （2）數(shù)列{an}和{cn}滿足，探究為等差數(shù)列的充分必要條件，需說(shuō)明理由。[提示：設(shè)數(shù)列{bn}為 53．某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分；比賽共進(jìn)行五局，積分有超過(guò)5分者比賽結(jié)束，否則繼續(xù)進(jìn)行. 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局比賽輸贏互不受影響. 若甲第n局贏、平、輸?shù)牡梅址謩e記為、、令. (Ⅰ)求的概率；（Ⅱ）若隨機(jī)變量滿足（表示局?jǐn)?shù)），求的分布列和期望. 54．如圖，已知直線與拋物線相切于點(diǎn)P(2, 1)，且與軸交于點(diǎn)A，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2, 0) .（I）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C； （II）若過(guò)點(diǎn)B的直線（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求OBE與OBF面積之比的取值范圍. 55,已知A、B是橢圓的一條弦，M(2，1)是AB中點(diǎn)，以M為焦點(diǎn)，以橢圓的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線與直線AB交于N(4，—1). (1)設(shè)雙曲線的離心率e，試將e表示為橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的函數(shù). (2)當(dāng)橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)時(shí)，求橢圓的方程. (3)求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍. 56已知：在曲線 （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足，設(shè)定b1的值，使得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； （3）求證： 57、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，并且滿足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1). （1）求數(shù)列； （2）設(shè) 58、已知向量的圖象按向量m平移后得到函數(shù)的圖象。 （Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）若函數(shù)上的最小值為的最大值。 A B C A1 B1 C1 O 59、已知斜三棱柱的各棱長(zhǎng)均為2， 側(cè)棱與底面所成角為， 且側(cè)面底面. （1）證明：點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)； （2）求二面角的大小 ；（3）求點(diǎn)到平面的距離. S Q D A B P C 60、如圖，已知四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，四邊形為菱形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。? 61．設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合： ① ②M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù). （1）若{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，a3=4，S3=18，證明：{Sn}∈W （2）設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為，求M的取值范圍； （3）設(shè)數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且 62．?dāng)?shù)列和數(shù)列（）由下列條件確定：（1），； （2）當(dāng)時(shí)，與滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，. 解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若已知當(dāng)時(shí)，，求. （Ⅲ）是滿足的最大整數(shù)時(shí)，用，表示滿足的條件. 63. 已知函數(shù) (a為實(shí)常數(shù))． 　　(1) 當(dāng)a = 0時(shí)，求的最小值； 　　(2)若在上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍； (3)設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列滿足 證明：≤1(n∈N*)． 64.設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于． （Ⅰ）求在區(qū)間上的最大值與最小值； （Ⅱ）是否存在兩個(gè)不等正數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域也是，若存在，求出所有這樣的正數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （Ⅲ）設(shè)存在兩個(gè)不等正數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求正數(shù)的取值范圍． 65. 已知數(shù)列中，，． （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證： 66、設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)時(shí),(其中)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù). 67、已知，，. （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）求在點(diǎn)處的切線與直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積； （3）是否存在實(shí)數(shù)，使的極大值為3？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 68、已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切。 （1）求橢圓C1的方程； （2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直于l1，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程； （3）設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R、S在C2上，且 滿足， 求的取值范圍。 69、已知F1,F2是橢圓C: （a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足。（1）求橢圓C的方程。（2）橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)M關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范圍。 70、已知均在橢圓上，直線、分別過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，有. O A P B x y (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，為圓的任一條直徑，求的最大值. 71.如圖， 和兩點(diǎn)分別在射線OS、OT上移動(dòng)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求P點(diǎn)的軌跡C的方程，并說(shuō)明它表示怎樣的曲線？ （Ⅲ）若直線l過(guò)點(diǎn)E（2，0）交（Ⅱ）中曲線C于M、N兩 點(diǎn)，且，求l的方程. 72.已知函數(shù)。 (1)若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間[1，2]上都為單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)a、b是函數(shù)H（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，a<b，。求證：對(duì)任意的x1、x2，不等式成立 73. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， (Ⅰ)求函數(shù)的解析式； (Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值； (Ⅲ)如果對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)在上恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 74.已知橢圓的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 75. 已知數(shù)列滿足，． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意的，． 76、已知函數(shù) （1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程 （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （3）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍。 77、已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)． (1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； (2)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出的值并加以證明． 78、已知，直線與函數(shù)、的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。（Ⅰ）求直線的方程及的值； （Ⅱ）若的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的最大值； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，比較：與的大小， 79、已知拋物線：的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)(在、之間)． (1)為拋物線的焦點(diǎn)，若，求的值； (2)如果拋物線上總存在點(diǎn)，使得，試求的取值范圍． 80、在平面直角坐標(biāo)系中，已知定圓F:（F為圓心），定直線,作與圓F內(nèi)切且和直線相切的動(dòng)圓P，(1)試求動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程。 （2）設(shè)過(guò)定圓心F的直線自下而上依次交軌跡E及定園F于點(diǎn)A、B、C、D， ①是否存在直線，使得成立？若存在，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。②當(dāng)直線繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。 81.已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)與的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 （Ⅰ）求與的解析式； （Ⅱ）若—在[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍； 82.設(shè)數(shù)列滿足 ，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列。 （I）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由。 83. 數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足 （1）求證：數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)存在正數(shù)k，使對(duì)一切都成立，求k的最大值. 84.已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)N，并且滿足，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn)，其中 （1）求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍； （2）設(shè)A、B兩點(diǎn)分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在一條定直線上，并求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍. 85.已知函數(shù) （1）求函數(shù)f(x)是單調(diào)區(qū)間； （2）如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值集合； （3）是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說(shuō)明理由. 86、已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn).并設(shè)以弦為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn).(Ⅰ)求焦點(diǎn)坐標(biāo)； (Ⅱ)若，試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 87、已知橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最小距離是，到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（I）求橢圓的方程; (Ⅱ)是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),使得,并說(shuō)明理由. 88、橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)與點(diǎn)的距離為。 （1）求橢圓的方程； （2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說(shuō)明理由。 89、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)n都有。 （1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，求證：對(duì)都成立。 90、已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為記前項(xiàng)和為． (Ⅰ)設(shè)，求和的值； (Ⅱ)設(shè)，求的值． 91.已知定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b都有，且 （1） 求的值 ， （2）求的解析式（） 92. 設(shè)函數(shù) （1）求證：為奇函數(shù)的充要條件是 （2）設(shè)常數(shù)＜，且對(duì)任意x，＜0恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 93.已知函數(shù)（a為常數(shù)）. （1）如果對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）設(shè)實(shí)數(shù)滿足：中的某一個(gè)數(shù)恰好等于a，且另兩個(gè)恰為方程 的兩實(shí)根，判斷①，②，③是否為定值？若是定值請(qǐng)求出：若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)，并求的最小值； （3）對(duì)于（2）中的，設(shè)，數(shù)列滿足 ，且，試判斷與的大小，并證明. 94．如圖，以A1，A2為焦點(diǎn)的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C，D，C1，D1，連接CC1與OB交于點(diǎn)H，且有：。其中A1，A2，B是圓O與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距。（1）當(dāng)c=1時(shí)，求雙曲線E的方程； （2）試證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)。 （3）連接A1C與雙曲線E交于F，是否存在實(shí)數(shù)恒成立， 若存在，試求出的值；1,3,5 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 95.設(shè)函數(shù)處的切線的斜率分別為0，－a. （1）求證： ； （2）若函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[s，t]，求|s－t|的取值范圍. （3）若當(dāng)x≥k時(shí)，（k是a，b，c無(wú)關(guān)的常數(shù)），恒有，試求k的最小值 96. 設(shè)函數(shù) （1）若且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有成立，求表達(dá)式； （2）在（1）在條件下，當(dāng)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （3）設(shè)mn<0，m+n>0，a>0且為偶函數(shù)，證明 97. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)P，坐標(biāo)分別為 、，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為曲線，直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABO的面積為， （1）求曲線C的方程； （2）求的值。 98.數(shù)列， ⑴是否存在常數(shù)、，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由。 ⑵設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，. 99、數(shù)列的前項(xiàng)和為。 （I）求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求； （Ⅲ）求使對(duì)所有的恒成立的整數(shù)的取值集合。 100、已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…. （1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列; （2）求數(shù)列 ⑶ 設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說(shuō)明理由。 高考數(shù)學(xué)壓軸題匯總詳細(xì)解答 1．解：（I） （1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，此時(shí)，， ，所以；——2分 （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，此時(shí)，， ，所以；————4分 （3）當(dāng)時(shí)，若，則，有； 若，則，有； 因此，，————6分 而， 故當(dāng)時(shí)，，有； 當(dāng)時(shí)，，有；————8分 綜上所述：?！?0分 （II）畫出的圖象，如右圖?！?2分 數(shù)形結(jié)合，可得?！?4分 2．解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,. （1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立; （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí), 因?yàn)?<x<1時(shí),,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.————4分 又由, 得,從而. 綜上可知————6分 (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0. 因?yàn)?所以,即>0,從而————10分 (Ⅲ) 因?yàn)?,所以, , 所以 ————① , ————12分 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因?yàn)? n≥2, 所以 <<=————② . ————14分 由①② 兩式可知: .————16分 3．（Ⅰ）在中,分別令；；得 由①＋②－③， 得 ＝∴ （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，． （1）∵≤2，當(dāng)a<1時(shí)，≤≤≤2． 即≤≤． ≤≤． （2）∵≤2，當(dāng)a≥1時(shí)，- 2≤≤≤1．即1≤a≤． 故滿足條件的取值范圍[-，]． 4．（1） 橢圓的方程為 （2分） （2）設(shè)AB的方程為 由 （4分） 由已知 2 （7分） （3）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn).S△AOB=1 （8分） 當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b （11分） 所以三角形的面積為定值.（12分） 5（1） ……………………………… (2分 ) …………………………………(4分) 個(gè) 記：A = , 則A=為整數(shù) = A (A+1) ， 得證 ………………………………………………………( 6分) (2) ………………………………………………… (8分) ……………………………………………(12分) 6、解：（Ⅰ）易知 設(shè)P（x，y），則 ， ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值3； 當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值4 （Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k 直線l的方程為 由方程組 依題意 當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R， 則 又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D| 綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 7、解：(1)依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x. 假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形. （ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形， ， ， ∠CAB為鈍角. . 該不等式無(wú)解，所以∠ACB不可能為鈍角. 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是: . 解法二： 以AB為直徑的圓的方程為: . 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G 點(diǎn)不重合，且A，B，C三點(diǎn)不共線時(shí)，∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角. 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角. . . A，B，C三點(diǎn)共 線，不構(gòu)成三角形. 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是： 8、解：（1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 （2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴ 由已知x>0時(shí)，f(x)>1>0，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)>0 ∴ 又x=0時(shí)，f(0)=1>0 ∴ 對(duì)任意x∈R，f(x)>0 (3)任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函數(shù) （4）f(x)f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上遞增 ∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0 ∴ 0<x<3 9、解：（1）由題意知，∴ 記 則 即 （2）令u=?！?∴在（0，＋∞）是減函數(shù) 而 ∴上為增函數(shù)， 從而上為減函數(shù)。 且上恒有>0 ,只需， 且 10、解：（1） 而 （2）由題設(shè)，有 又 得上為奇函數(shù). 由 得 于是 故 11.解：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由①知,G為 △ABC的重心 ， G(,) …………………………………………（2分） 由②知M是△ABC的外心，M在x軸上。 由③知M（，0）， 由 得 化簡(jiǎn)整理得：（x≠0 ）…(6分) （2）F（，0 ）恰為的右焦點(diǎn) 設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠，則直線PQ的方程為y = k ( x －) 由 設(shè)P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 則x1 + x2 = , x1x2 = …… （8分） -7- 則| PQ | = = = RN⊥PQ,把k換成得 | RN | = ………………………（ 10分) S =| PQ | | RN | == ≥2 ， ≥16，≤ S < 2 ， (當(dāng) k = 1時(shí)取等號(hào)) ……（12分） 又當(dāng)k不存在或k = 0時(shí)S = 2 綜上可得 ≤ S ≤ 2， Smax = 2 ， Smin = ……………………………………（14分） 12．解：⑴ 又∵為銳角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ，∴. ∴ ∵, , 又∵ ∴ ， ∴，∴ 13 (本小題滿分14分)解：（1），……………2分 故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列?！?分 ，…4分 （2），……………5分 ① ② ②—①得，即③……………………8分 ④ ④—③得，即………9分 所以數(shù)列是等差數(shù)列 （3）………………………………11分 設(shè)，則 …………13分 ………………………………14分 14. (本小題滿分16分 （1）當(dāng)時(shí)，，………………1分 在（—1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，在（—1，1）上恒成立…………2分 在（—1，1）上恒成立…………3分 ………4分 （2）設(shè)，則 15、①；③ 16、解：(1)由f(mn)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(00)＝[f(0)]0 ∵函數(shù)f(x)的圖象均在x軸的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……3分 ∵f(2)＝f(12)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0 ∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 ……3分 (2) 又當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)恒成立，∴在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù) ∴ ①當(dāng)時(shí)，； ②當(dāng)時(shí)，，∴； ③當(dāng)時(shí)，，∴ 綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。 17、解：（I）是“保三角形函數(shù)”，不是“保三角形函數(shù)”． 1分 任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為，則，不妨假設(shè)， 由于，所以是“保三角形函數(shù)”. 3分 對(duì)于，3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但，所以不存在三角形以為三邊長(zhǎng)，故不是“保三角形函數(shù)”． 4分 （II）設(shè)為的一個(gè)周期，由于其值域?yàn)椋?，存在，使得? 取正整數(shù)，可知這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但，不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．故不是“保三角形函數(shù)”． 8分 （III）的最大值為． 9分 一方面，若，下證不是“保三角形函數(shù)”. 取，顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但 不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，故不是“保三角形函數(shù)”. 另一方面，以下證明時(shí)，是“保三角形函數(shù)”． 對(duì)任意三角形的三邊，若，則分類討論如下： （1）， 此時(shí)，同理，， ∴，故，． 同理可證其余兩式. ∴可作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)． （2） 此時(shí)，，可得如下兩種情況： 時(shí)，由于，所以，. 由在上的單調(diào)性可得； 時(shí)，， 同樣，由在上的單調(diào)性可得； 總之，. 又由及余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，得 ， ∴． 同理可證其余兩式，所以也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．故時(shí)，是“保三角形函數(shù)”． 綜上，的最大值為． 18、解：（Ⅰ）∴ 當(dāng)時(shí)， ，即是等比數(shù)列． ∴； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若為等比數(shù)列， 則有而 故，解得， ………………………………7分 再將代入得成立， 所以． …………8分 （III）證明：由（Ⅱ）知，所以 ， ………… 9分 由得 所以， …………………… 12分 從而 ． 即． ………………………14分 19、解：（I），，，因?yàn)?，，成等比?shù)列， 所以，解得或． 當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去，故．…… 4分（文6分） （II）當(dāng)時(shí)，由于，，…… ，所以。 又，，故．當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，所以……8分 （III）bn=32n-2-3n-1+2, ∴=9. ……12分 20、解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN GQ為PN的中垂線|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴短半軸長(zhǎng)b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是 ………5分 （2）因?yàn)?，所以四邊形OASB為平行四邊形 若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形 若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由 矛盾，故l的斜率存在. ………7分 設(shè)l的方程為 ① ② ……………9分 把①、②代入 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∴存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相等. 21、 解：（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 則 即A、C兩個(gè)救援中心的距離為 （2），所以P在BC線段的垂直平分線上 又，所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且 ∴雙曲線方程為 BC的垂直平分線的方程為 聯(lián)立兩方程解得： ∴∠PAB＝120所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30處 （3）如圖，設(shè) 又∵ 即A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小 22、解：（Ⅰ）三個(gè)函數(shù)的最小值依次為，，，…………………… …3分 由，得 ∴ ， 故方程的兩根是，． 故，．………………………4分 ，即 ∴ ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）①依題意是方程的根，故有，， 且△，得． 由………………………7分 ；得，，． 由（Ⅰ）知，故， ∴ ， ∴ ．…………………………………………9分 ② （或）． ………………………………………11分 由（Ⅰ） ∵ ，∴ ， 又，∴ ， ，（或） …………………13分 ∴ ．…………………………………15分 23．（本小題滿分12分） 解：（I）由，∴直線l的斜率為，………1分 故l的方程為，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0） …………………………………… 2分 設(shè) 則， 由得 整理，得……4分 ∴點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓 ……… 5分 （II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k(x－2)(k≠0)① 將①代入，整理，得 ， 由△>0得0<k2<. 設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2) 則 ②………………………………………………………7分 令，由此可得 由②知 .∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.……12分 24．（本小題滿分14分）解：（I）由題意 （II）由（I）知：， 令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，只需h(x)在（0，+∞）滿足： h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.………………………………4分 ①， ∴g(x)在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴p=0適合題意.………………………5分 ②當(dāng)p>0時(shí)，h(x)=px2－2x+p圖象為開口向上拋物線， 稱軸為x=∈（0，+∞）.∴h(x)min=p－.只需p－≥0，即p≥1時(shí)h(x)≥0，g′(x) ≥0， ∴g(x)在(0,+ ∞)單調(diào)遞增，∴p≥1適合題意.…………………………7分 ③當(dāng)p<0時(shí)，h(x)=px2－2x+p圖象為開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸為x=（0，+∞）， 只需h(0)≤0，即p≤0時(shí)h(0)≤（0,+ ∞)恒成立. ∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）單調(diào)遞減，∴p<0適合題意. 綜上①②③可得，p≥1或p≤0.……………………………………9分 （III）證明：①即證：lnx－x+1≤0 (x>0)， 設(shè). 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k′(x)>0，∴k(x)為單調(diào)遞增函數(shù)； 當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，k′(x)<0，∴k(x)為單調(diào)遞減函數(shù)； ∴x=1為k(x)的極大值點(diǎn)，∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx－x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x－1.………………………………11分 ②由①知lnx≤x－1,又x>0， ∴結(jié)論成立.…………………………………………………………………………14分 25．解：（Ⅰ）∴ 當(dāng)時(shí)， ，即是等比數(shù)列． ∴； ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若為等比數(shù)列， 則有而 故，解得，再將代入得成立， 所以． （III）證明：由（Ⅱ）知，所以 ， 由得 所以， 從而 ． 即．…………………………14分 26、解：（Ⅰ）設(shè) ∴ ∴ 由 又∵ ∴ ∴ …………………… 3分 于是 由得或； 由得或 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和， 單調(diào)減區(qū)間為和 ……………………4分 （Ⅱ）由已知可得， 當(dāng)時(shí)， 兩式相減得 ∴或 當(dāng)時(shí)，，若，則這與矛盾 ∴ ∴ ……………………6分 于是，待證不等式即為． 為此，我們考慮證明不等式 令則， 再令， 由知 ∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 ∴ 于是 即 　　　 ① 令， 由知 ∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 ∴ 于是 即　　　　 ② 由①、②可知 ……………………10分 所以，，即 ……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知 則 在中令，并將各式相加得 即 27、解：（1）∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又f（- x） = f [（a - x） - a]= = = = = = - f （x），對(duì)于定義域內(nèi)的每個(gè)x值都成立 ∴ f（x）為奇函數(shù)------------------------------------------------------------------------------------（4分） （2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為4a．------------------------------------------（8分） （3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]= = = 0， f（3a）= f（2a + a）= f [2a -（- a）]= = = - 1． 先證明f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時(shí)，f（x） < 0， 設(shè)2a < x < 3a，則0 < x - 2a < a， ∴ f（x - 2a）= = - > 0，∴ f（x）< 0---------------------（10分） 設(shè)2a < x1 < x2 < 3a， 則0 < x2 - x1 < a，∴ f（x1）< 0 f（x2）< 0 f（x2 - x1）> 0， ∴ f（x1）- f（x2）= > 0，∴ f（x1）> f（x2）， ∴ f（x）在[2a，3a]上單調(diào)遞減--------------------------------------------------（12分） ∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a = 0，最小值為f（3a）= - 1 28、解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由得P(0，)，Q(). 由得(3，)(，)＝0,即 又點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，故點(diǎn)M的軌跡C的方程是.… …6分 （Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y2＝4x的焦點(diǎn)，且A、B為過(guò)焦點(diǎn)N的直線與拋物線C的兩個(gè)交點(diǎn)。 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；………7分 當(dāng)直線AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，代入得 則|AB|,解得 …………………10分 代入原方程得，由于，所以, 由，得 . ……………………13分 解法二：由題設(shè)條件得 由（6）、（7）解得或，又，故. 29、解：（Ⅰ）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知 解得，，， 所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分 （Ⅱ）解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為． 得. 由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn)，可知 ，解得． 設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，, 則，，，． 因?yàn)?，? 所以，. 又因?yàn)? ， 所以．…………10分 解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為. 于是可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，, 則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，． 由橢圓的第二定義可得 , 所以，，三點(diǎn)共線，即．…………………………………10分 (Ⅲ)由題意知 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立， 所以面積的最大值為． 30、解：（I）將P（1，－1）代入拋物線C的方程得a=－1， ∴拋物線C的方程為，即 焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，－）.……………………………………4分 （II）設(shè)直線PA的方程為， 聯(lián)立方程消去y得 則 由………………7分 同理直線PB的方程為 聯(lián)立方程消去y得 則 又…………………………9分 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由 又…………………………………………11分 ∴所求M的軌跡方程為： 高考資源網(wǎng) 31．解：（Ⅰ），由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得 ， 　（1） ， （2） ………………2分 又，可得，即，故 ………3分 由（1）得，代入，再由，得 ， （3） …