2.3數(shù)學(xué)歸納法(一)一、基礎(chǔ)過關(guān)1 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時(shí)，該命題成立，那么可推得nk1時(shí)，該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時(shí)，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()A當(dāng)n6時(shí)命題不成立B當(dāng)n6時(shí)命題成立C當(dāng)n4時(shí)命題不成立D當(dāng)n4時(shí)命題成立2 一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時(shí)命題成立，且由nk時(shí)命題成立可以推得nk2時(shí)命題也成立，則()A該命題對(duì)于n>2的自然數(shù)n都成立B該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān)D以上答案都不對(duì)3 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于()A1 B2 C3 D04 若f(n)1(nN*)，則n1時(shí)f(n)是()A1 B.C1 D以上答案均不正確5 已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)6 在數(shù)列an中，a12，an1(nN*)，依次計(jì)算a2，a3，a4，歸納推測(cè)出an的通項(xiàng)表達(dá)式為()A. B.C. D.二、能力提升7 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.8 已知f(n)(nN*)，則f(k1)_.9 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nN*)”的過程中的錯(cuò)誤為_證明：假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立因此對(duì)于任何nN*等式都成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)(1)(1)(1)(nN*)11用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(1)n1n2(1)n1.12已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式三、探究與拓展13是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式122232342n(n1)2(an2bnc)對(duì)一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論答案1B 2B3C4C 5D6B7B8f(k)9缺少步驟歸納奠基10證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即(1)(1)(1)(1)，當(dāng)nk1時(shí)，(1)(1)(1)(1)(1)(1)，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)于任意nN*等式都成立11證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊(1)111，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.即nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立12(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)證明當(dāng)n2時(shí)，a252225，公式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)成立，即ak52k2，當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2a3ak551052k2.552k1.故nk1時(shí)公式也成立由可知，對(duì)n2，nN*，有an52n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.13解假設(shè)存在a、b、c使上式對(duì)nN*均成立，則當(dāng)n1,2,3時(shí)上式顯然也成立，此時(shí)可得解此方程組可得a3，b11，c10，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122232342n(n1)2(3n211n10)對(duì)一切正整數(shù)均成立(1)當(dāng)n1時(shí)，命題顯然成立(2)假設(shè)nk時(shí)，命題成立即122232342k(k1)2(3k211k10)，則當(dāng)nk1時(shí)，有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)任何正整數(shù)n，等式都成立