專題60 化角為邊法判斷三角形的形狀一、單選題1在中，角，所對的邊分別為，且，則的形狀是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定【答案】B【分析】利用正弦定理，邊角互化，轉化為邊的關系，再化簡判斷三角形的形狀.【詳解】因為，利用正弦定理邊角互化，得到，所以，所以，即，則是直角三角形.故選：B2在中，若，則的形狀一定是（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D不能確定【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，先得到，利用正弦定理，即可得出結果.【詳解】由可得，即，因為為的內角，所以，因此，由正弦定得有，故為等腰三角形.故選：A.3在中，若，則的形狀一定是（ ）A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用數(shù)量積運算化簡得到，再利用余弦定理化簡得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故選：B【點睛】方法點睛：判斷三角形的形狀，常用的方法有：（1）邊化角；（2）角化邊.在邊角互化時常利用正弦定理和余弦定理.4在中，角、所對的邊分別為、，且，若，則的形狀是（ ）A等腰且非等邊三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)余弦定理可知，再利用邊角互化，以及條件證明，從而判斷的形狀.【詳解】根據(jù)余弦定理可知，因為，所以，根據(jù)正弦定理可知，所以，所以，則的形狀是等邊三角形.故選：C5在中，若，則（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正弦定理進行角化邊可得是以為直角的直角三角形，進而得解.【詳解】，由正弦定理得：，所以是以為直角的直角三角形，故.故選：C.6在中，角所對的邊分別為.且則是（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D無法確定【答案】A【分析】由條件利用正弦定理可得，利用余弦定理可得角為鈍角，可得答案.【詳解】由可得由正弦定理可得：由余弦定理可得： ，又 所以角為鈍角.故選：A7在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則這個三角形的形狀為（ ）A直角三角形B等腰三角形C銳角三角形D等腰或直角三角形【答案】A【分析】由條件和余弦定理可得，然后化簡可得答案.【詳解】因為，所以由余弦定理可得，即所以，所以三角形的形狀為直角三角形故選：A8若，且，那么是（ ）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等邊三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再利用正弦定理化邊為角結合正弦的二倍角公式可得，即可求出角，進而可得角，即可判斷出的形狀.【詳解】由余弦定理得推論可得，因為，所以，因為，由正弦定理可得：，整理可得：，所以，所以或，因為，所以，所以，所以是等腰直角三角形，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟練運用余弦定理得推論求出角，運用正弦定理化邊為角求出角和角的關系，求出角，判斷三角形形狀的關鍵就是化邊為角或化角為邊.9已知的三個內角，所對的邊分別為，滿足，且，則的形狀為（ ）A等邊三角形B等腰直角三角形C頂角為的非等腰三角形D頂角為的等腰三角形【答案】D【分析】利用平方關系式和正弦定理得，根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)求出，從而可得解.【詳解】因為，所以，所以，根據(jù)正弦定理可得，即，所以，因為，所以，所以，由得，得，得，得，得，因為為三角形的內角，所以，所以為頂角為的等腰三角形.故選：D【點睛】思路點睛：判斷三角形形狀從兩個方面入手：利用正余弦定理角化邊，利用邊的關系式判斷形狀，利用正余弦定理邊化角，利用角的關系式判斷形狀.10在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結論中正確的是（ ）A若，則B若，則是等腰三角形C若，則是直角三角形D若，則是銳角三角形【答案】C【分析】對選項A，利用正弦定理邊化角公式即可判斷A錯；對選項B，首先利用正弦二倍角公式得到，從而得到是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對選項C，利用正弦定理邊化角公式和兩角和差公式即可判斷C正確；對D，首先根據(jù)余弦定理得到為銳角，但，無法判斷，故D錯誤.【詳解】對選項A，故A錯；對選項B，因為所以或，則是等腰三角形或直角三角形.故B錯誤；對選項C，因為，所以，即，即，因為，所以，是直角三角形，故C正確；對D，因為，所以，為銳角.但，無法判斷，所以無法判斷是銳角三角形，故D錯誤.故選：C.【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同時考查三角函數(shù)恒等變換，屬于?？碱}型.11在中，內角，的對邊分別是、，若，則的形狀是（ ）A等腰三角形B鈍角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由，根據(jù)正弦定理求得，進而得到或，即可求解.【詳解】因為，可得，由正弦定理得，即，又因為，則，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角形的形狀的判定，以及正弦定理的應用，其中解答中合理利用正弦定理和正弦的倍角公式是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.12的內角，的對邊分別為，.若，則為（ ）.A等腰直角三角形B等腰或直角三角形C直角三角形D等腰三角形【答案】D【分析】由題意結合余弦定理化簡得，即可得解.【詳解】由結合余弦定理可得，化簡得，即，所以為等腰三角形.故選：D.【點睛】本題考查了利用余弦定理判斷三角形形狀的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.13已知中，三內角依次成等差數(shù)列，三邊依次成等比數(shù)列，則是（ ）A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D鈍角三角形【答案】C【分析】根據(jù)三角形中三個角依次成等差數(shù)列，可得；由三邊成等比，可得，代入余弦定理可求得關系，結合三角形判定方法即可得解.【詳解】中，三內角依次成等差數(shù)列，則，因為，則，三邊依次成等比數(shù)列，則，由余弦定理可得，代入可得化簡可得，即，而，由等邊三角形判定定理可知為等邊三角形，故選：C.【點睛】本題考查了等差中項與等比中項的簡單應用，余弦定理求邊的關系，三角形形狀的判斷，屬于基礎題.14中，角，的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）A直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理、余弦定理將角化為邊，即可得到之間的關系，從而確定出三角形的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以三角形是等腰三角形，故選：B.【點睛】本題考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀，難度一般.本例還可以直接利用，通過三角函數(shù)值找到角之間的聯(lián)系從而判斷三角形形狀.15在ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，（b+c+a）（b+c-a）=3bc，則ABC 的形狀為（ ）A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形【答案】C【詳解】由及正弦定理得，即三角形ABC為等腰三角形又由,得，所以由余弦定理得，又，所以綜上，三角形為等邊三角形.故選：C16在中，已知，則該的形狀為（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰或直角三角形【答案】D【分析】運用正弦定理以及化切為弦，將已知等式化為，結合角的范圍，即可得出結論.【詳解】化為，至少有一個是銳角，或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.故選:D.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化，以及三角恒等變換判定三角形形狀，由三角函數(shù)值確定角要注意角的范圍，屬于中檔題.17在中，則一定是( )A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D以上都有可能【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，整理可得的關系，進而判斷三角形的形狀.【詳解】，由正弦定理及余弦定理可得，是直角三角形.故選：B【點睛】本題主要考查了綜合利用正弦定理與余弦定理判斷三角形的形狀，考查了學生的運算求解能力.18已知的內角的對邊分別為，則一定為（ ）A等腰三角形B鈍角三角形C銳角三角形D等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理角化邊，即可得出答案.【詳解】由結合正弦定理得，,從而.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理判斷三角函數(shù)的形狀，屬于基礎題.熟記正弦定理是解本題的基礎.19在中，（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則的形狀為（ ）A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】由二倍角公式和余弦定理化角為邊后變形可得【詳解】，整理得，三角形為直角三角形故選：B【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角為邊是解題關鍵20設在中，若，且，則的形狀為（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D不確定【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理：，化簡所給條件，即可求得答案.【詳解】，根據(jù)，“角化邊”可得：，即：，是等腰直角三角形故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)正弦定理判斷三角形形狀問題，解題關鍵是掌握正弦定理公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.21在中，若，則是（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形【答案】A【分析】首先根據(jù)題意設，計算，即可得到是鈍角三角形.【詳解】因為，設，則角為中最大內角.，所以角為鈍角，是鈍角三角形.故選：A【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于簡單題.22中，且，則的形狀是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】C【分析】由正弦定理可得，則，再由另一個條件結合誘導公式即可求得，由此可得答案【詳解】解：，則，是等腰直角三角形，故選：C【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，屬于基礎題二、多選題23對于，有如下命題，其中正確的有（ ）A若，則是等腰三角形B若是銳角三角形，則不等式恒成立C若，則為鈍角三角形D若，則的面積為或【答案】BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換，誘導公式，正弦定理，余弦定理分別對選項進行求解；【詳解】對于對A，或，解得：，或，則是等腰三角形或直角三角形，因此不正確；對B，是銳角三角形，化為恒成立，因此正確；對C，由正弦定理可得：，為鈍角，則為鈍角三角形，因此正確；對D，設，由余弦定理可得：，化為：，解得或2則的面積，或的面積，因此正確綜上可得：只有BCD正確故選：BCD【點睛】正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式、三角函數(shù)的單調性等知識的綜合運用，是求解本題的關鍵.24設動點在正方體上(含內部)，且，當為銳角時，實數(shù)可能的取值是（ ）ABCD【答案】CD【分析】設，設正方體的棱長為1，在中，利用余弦定理求出，在中，再利用余弦定理即可求解.【詳解】設，設正方體的棱長為1，則，在中，由余弦定理得，若為銳角，則，則，在中，于是由余弦定理得，于是，即，解之得：或，由，故(舍)或.故選：CD25在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，下列敘述正確的是（ ）A若 則ABC為等腰三角形B若 則ABC為等腰三角形C若則ABC為銳角三角形D若，則C【答案】ACD【分析】根據(jù)正余弦定理、三角形內角和性質，結合三角恒等變換有：A可得，B可得或，C可得，D中，即可判斷各選項正誤.【詳解】A：有，即，故ABC為等腰三角形，正確.B：有，即，所以或，ABC不一定為等腰三角形，錯誤.C：，所以ABC為銳角三角形，正確.D：知：，所以，有C，正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：應用正弦定理邊角互化及三角形內角和，兩角和差公式等轉化條件確定三角形形狀.26在中，角所對的邊分別為，以下結論中正確的有（ ）A若 ，則 ；B若，則一定為等腰三角形；C若，則為直角三角形；D若為銳角三角形，則 .【答案】AC【分析】結合三角形的性質、三角函數(shù)的性質及正弦定理，對四個選項逐個分析可選出答案.【詳解】對于A，由正弦定理，所以由，可推出，則，即A正確；對于B，取，則，而不是等腰三角形，即B錯誤；對于C，則，由正弦定理可得，故為直角三角形，即C正確；對于D，若銳角三角形，取，此時，即，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查真假命題的判斷，考查三角函數(shù)、解三角形知識，考查學生推理能力與計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題27在中，分別為角，的對邊，.（1）求角；（2）若的面積為，邊上的高，求和的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義以及余弦定理得推論即可得出，再利用余弦定理即可求角；（2）由題意可得結合，可以求出，再利用余弦定理即可求出，即可求出和的大小.【詳解】（1）因為，所以，即，所以，所以.因為，所以.（2）因為的面積為，所以又因為，所以，.又，即.聯(lián)立，解得.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是利用數(shù)量積的定義，再利用余弦定理可得，進而求出角，第二問的關鍵是利用三角形面積公式求出，再結合利用余弦定理可求出，解方程組即可.28在銳角中，角A，B，C滿足條件：（1）求角；（2）求的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得：，再根據(jù)余弦定理即可得；（2）結合（1），由內角和定理得，再根據(jù)恒等變換得，再根據(jù)銳角三角形得，最后根據(jù)三角函數(shù)性質求解即可得答案.【詳解】解：（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得： 整理得所以由余弦定理得：，因為為銳角三角形，所以.（2）由（1）得，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以.故的取值范圍.【點睛】本題考查解三角形，三角函數(shù)的性質與恒等變換，考查運算求解能力.解題的關鍵在于先利用正弦定理邊角互化得，進而由余弦定理得；第二問的解題關鍵是將問題轉化為求，的取值范圍問題，容易忽視三角形為銳角三角形導致出錯.29已知中，三內角、的度數(shù)成等差數(shù)列，邊、依次成等比數(shù)列.求證：是等邊三角形.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)內角、的度數(shù)成等差數(shù)列，易得，再由邊、依次成等比數(shù)列得到，然后利用余弦定理判斷即可.【詳解】因為內角、的度數(shù)成等差數(shù)列，所以，又 ，所以 ，因為邊、依次成等比數(shù)列，所以，由余弦定理得：，即 ，解得 ，所以是等邊三角形.【點睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，還考查了轉化求解問題的能力，屬于基礎題.30在中，分別是角，所對的邊，已知，（1）判斷的形狀；（2）若，求的面積【答案】（1）等腰三角形；（2）.【分析】（1）利用余弦定理由所給等式可得，即可判斷三角形為等腰三角形；（2）求出，由利用二倍角公式即可求出，代入三角形面積公式即可得解.【詳解】（1），則，為等腰三角形；（2），則，的面積.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀、三角形面積公式，屬于基礎題.31在中，內角、的對邊分別是、（1）若，求；（2）若，試判斷的形狀【答案】（1）或；（2）等邊三角形【分析】（1）利用正弦定理求得的值，利用大邊對大角定理結合角的取值范圍可求得角的值；（2）由正弦定理得出，代入可得出，進而可得出，由此可判斷出的形狀【詳解】（1）由正弦定理得，則，因此，或；（2）由得又，所以，所以因為，所以所以是等邊三角形【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，同時也可考查了利用正弦定理邊角互化思想判斷三角形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.32在中，角，所對的邊分別是，且.（）求證：；（）若，成等比數(shù)列，求證：為正三角形.【答案】（）證明見解析；（）證明見解析.【分析】（）利用正弦定理化邊為角，兩角和的正弦公式，即可得，從而求出角.（）利用余弦定理的推論結合，可證明為正三角形.【詳解】（），（）因為，成等比數(shù)列，所以由（）可知，由余弦定理的推論得：，又因為，為正三角形.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，判斷三角形的形狀，屬于中檔題.33已知的三個內角，滿足.（1）判斷的形狀；（2）設三邊成等差數(shù)列且，求三邊的長.【答案】（1）為直角三角形；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，由此判斷出為直角三角形.（2）利用已知條件列方程，解方程求得的值.【詳解】（1）由已知等式變形得：，利用正弦余弦定理化簡得：，整理得：，為直角三角形（2）由已知得：，由得：，代入得：，即，即，代入得：，.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于中檔題.34ABC的內角、 的對邊分別為 、 ，設.（1）求；（2）當時，求其面積的最大值，并判斷此時的形狀.【答案】（1）；（2），等邊三角形.【分析】（1）利用角為邊的思想，由余弦定理求出 ，再結合角的范圍可求出角的值.（2）利用余弦定理，結合基本不等式，求出的最大值，即可計算出三角形面積的最大值.【詳解】（1），由正弦定理可得：，由余弦定理得:，又，（2）由余弦定理和基本不等式得： ， ，當且僅當時，“=”成立，的面積，此時，由于，則是等邊三角形.【點睛】本題主要考查了正弦定理、三角形內角和定理、兩角和與差的正弦函數(shù)公式、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題.35設內角，的對邊分別是，且三個內角，依次成等差數(shù)列.若，求角；若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.【答案】；.【分析】根據(jù)，依次成等差數(shù)列，推出，即可判斷出結果；利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡，進而求出取值范圍.【詳解】解：，依次成等差數(shù)列，.，.又，即，為正三角形，.由已知，.，為鈍角三角形， ，.故的取值范圍是.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值，正弦定理的運用，二倍角公式、兩角和的正弦公式的運用，考查計算能力，屬于中檔題.36在中,abc分別是角ABC的對邊,且.(1)求角B的大小;(2)若,求的周長.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用余弦定理及變形化簡，可得角B的大?。?）利用余弦定理求解的值，即可求解的周長.【詳解】(1)由余弦定理,得,將上式代入,整理得,角B為的內角,.(2)將,代入,即,的周長為.【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用，三角形的周長，屬于中檔題.37已知的角的對邊分別為、，設向量，（1）若，判斷的形狀；（2）若，邊長，求的面積【答案】（1）等腰三角形；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用向量平行的坐標表示，可直接根據(jù)邊的關系，判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的坐標表示可得，再根據(jù)余弦定理，兩式聯(lián)立可直接求得，并求得三角形的面積.【詳解】（1）若，則，即，解得：，是等腰三角形.（2）若，則，解得：，根據(jù)余弦定理可得：，即，即 解得：（舍）或 ，所以的面積是.【點睛】本題考查向量和解三角形的綜合問題，意在考查轉化與化歸和計算能力，屬于中檔題型.38在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，（1）判斷的形狀；（2）若，求的面積【答案】（1）等腰三角形；（2）.【分析】（1）由題意結合余弦定理可轉化條件為，即可得解；（2）由題意結合余弦定理可得，再由三角形面積公式即可得解.【詳解】（1），即，為等腰三角形；（2）由（1）知，解得， 【點睛】本題考查了余弦定理及三角形面積公式的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.39在ABC中，判斷的形狀.【答案】為直角三角形.【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡已知條件，得到，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】因為據(jù)正、余弦定理得：，由于，所以，所以，所以為直角三角形.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀，屬于中檔題.40在中，角，的對邊分別為，已知，.（1）求的值，并判定的形狀；（2）求的面積.【答案】（1），為等腰三角形；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理求出，即可得出結果；（2）根據(jù)求出，再由三角形面積公式，即可求出結果.【詳解】（1）在中，因為，所以由余弦定理可得，所以，又，所以為等腰三角形.（2）因為，所以，因此.【點睛】本題主要考查由余弦定理判定三角形形狀，以及求三角形的面積，熟記余弦定理與三角形面積公式即可，屬于?？碱}型.四、填空題41設的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且滿足，a、b不相等，的周長為，則面積的最大值為_【答案】【分析】由余弦定理及已知條件知，有，由的周長為知即有，最后根據(jù)三角形面積公式求面積最大值即可【詳解】由余弦定理知：，即，又的周長為有，當且僅當時等號成立，而故面積的最大值為故答案為：【點睛】本題考查了利用余弦定理化角為邊、基本不等式、三角形面積公式求三角形面積最值；利用余弦定理化簡已知等式并確定三角形形狀，根據(jù)三角形周長一定求兩邊乘積的范圍，結合三角形面積公式即可求面積最值42在中，內角，所對的邊分別是，若，則_.【答案】【分析】由正弦定理可得.又，即可得，再結合余弦定理求解即可.【詳解】解：因為，所以由正弦定理可得.又，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理的應用，重點考查了運算能力，屬基礎題.43在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinAsinB，則AB；若sin2Asin2B，則ABC一定為等腰三角形；若，則ABC為直角三角形；若ABC為銳角三角形，則sinA<cosB以上結論中正確的有_.（填正確結論的序號）【答案】【分析】結合三角形的性質、三角函數(shù)的性質及正弦定理，對四個結論逐個分析可選出答案.【詳解】對于，由正弦定理，所以由sinAsinB，可推出，則，即正確；對于，取，則，而ABC不是等腰三角形，即錯誤；對于，則，由正弦定理可得，故ABC為直角三角形，即正確；對于，若ABC為銳角三角形，取，此時，即，故錯誤.故答案為：.【點睛】本題考查真假命題的判斷，考查三角函數(shù)、解三角形知識，考查學生推理能力與計算求解能力，屬于中檔題.