高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5解析幾何解析幾何熱點(diǎn)一圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型， 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線的漸近線是常考題型.【例 1】(1)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為 F(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23 相切，則雙曲線的方程為()A.x29y2131B.x213y291C.x23y21D.x2y231(2)若點(diǎn) M(2，1)，點(diǎn) C 是橢圓x216y271 的右焦點(diǎn)，點(diǎn) A 是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，則|AM|AC|的最小值為_.(3)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)與拋物線 y22px(p0)有相同的焦點(diǎn) F，P，Q 是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，若直線 PQ 經(jīng)過焦點(diǎn) F，則橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率為_.答案(1)D(2)8 26(3) 21解析(1)雙曲線x2a2y2b21 的一個(gè)焦點(diǎn)為 F(2，0)，則 a2b24，雙曲線的漸近線方程為 ybax，由題意得2ba2b2 3，聯(lián)立解得 b 3，a1，所求雙曲線的方程為 x2y231，選 D.(2)設(shè)點(diǎn) B 為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn) M(2，1)在橢圓內(nèi)，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而 a4，|BM| （23）21 26，所以(|AM|AC|)最小8 26.(3)因?yàn)閽佄锞€ y22px(p0)的焦點(diǎn) F 為p2，0，設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為 E.如圖所示，將xp2代入拋物線方程得 yp， 又因?yàn)镻Q經(jīng)過焦點(diǎn) F， 所以Pp2，p且PFOF.所以|PE|p2p22p2 2p，|PF|p，|EF|p.故 2a 2pp，2cp，e2c2a 21.【類題通法】(1)在橢圓和雙曲線中，橢圓和雙曲線的定義把曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離聯(lián)系在一起，可以把曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離， 也可以結(jié)合三角形的知識(shí)，求出曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離.在拋物線中，利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為其到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決有關(guān)的最值問題.(2)求解與圓錐曲線的幾何性質(zhì)有關(guān)的問題關(guān)鍵是建立圓錐曲線方程中各個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系，或者求出圓錐曲線方程中的各個(gè)系數(shù)，再根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)通過代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知橢圓x24y221 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，過 F1且傾斜角為45的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，以下結(jié)論：ABF2的周長(zhǎng)為 8；原點(diǎn)到 l的距離為 1；|AB|83.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.3B.2C.1D.0答案A解析由橢圓的定義， 得|AF1|AF2|4， |BF1|BF2|4， 又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2的周長(zhǎng)為|AB|AF2|BF2|8，故正確；由條件，得 F1( 2，0)， 因?yàn)檫^ F1且傾斜角為 45的直線 l 的斜率為 1， 所以直線 l 的方程為yx 2，則原點(diǎn)到 l 的距離 d| 2|21， 故正確； 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由yx 2，x24y221，得 3x24 2x0，解得 x10，x24 23，所以|AB| 11|x1x2|83，故正確.故選 A.熱點(diǎn)二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問題.【例 2】已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率為22，點(diǎn)(2， 2)在 C 上.(1)求 C 的方程；(2)直線 l 不過原點(diǎn) O 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B，線段 AB 的中點(diǎn)為 M，證明：直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值.(1)解由題意有a2b2a22，4a22b21，解得 a28，b24.所以 C 的方程為x28y241.(2)證明設(shè)直線 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).將 ykxb 代入x28y241 得(2k21)x24kbx2b280.故 xMx1x222kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直線 OM 的斜率 kOMyMxM12k，即 kOMk12.所以直線 OM 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值.【類題通法】解答圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題的一般步驟第一步：研究特殊情形，從問題的特殊情形出發(fā)，得到目標(biāo)關(guān)系所要探求的定點(diǎn)、定值.第二步：探究一般情況.探究一般情形下的目標(biāo)結(jié)論.第三步：下結(jié)論，綜合上面兩種情況定結(jié)論.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知拋物線 C：y22px(p0)的焦點(diǎn) F(1，0)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線 C 上異于 O 的兩點(diǎn).(1)求拋物線 C 的方程；(2)若直線 OA，OB 的斜率之積為12，求證：直線 AB 過 x 軸上一定點(diǎn).(1)解因?yàn)閽佄锞€ y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，所以p21，所以 p2.所以拋物線 C 的方程為 y24x.(2)證明當(dāng)直線 AB 的斜率不存在時(shí)，設(shè) At24，t，Bt24，t.因?yàn)橹本€ OA，OB 的斜率之積為12，所以tt24tt2412，化簡(jiǎn)得 t232.所以 A(8，t)，B(8，t)，此時(shí)直線 AB 的方程為 x8.當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為 ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立得y24x，ykxb，化簡(jiǎn)得 ky24y4b0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得 yAyB4bk， 因?yàn)橹本€ OA， OB 的斜率之積為12， 所以yAxAyBxB12，即 xAxB2yAyB0.即y2A4y2B42yAyB0，解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB4bk32，即 b8k，所以 ykx8k，即 yk(x8).綜上所述，直線 AB 過定點(diǎn)(8，0).熱點(diǎn)三圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題.【例 3】平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的離心率是32，拋物線 E：x22y 的焦點(diǎn) F 是 C 的一個(gè)頂點(diǎn).(1)求橢圓 C 的方程；(2)設(shè) P 是 E 上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E 在點(diǎn) P 處的切線 l 與 C 交于不同的兩點(diǎn) A，B，線段 AB 的中點(diǎn)為 D.直線 OD 與過 P 且垂直于 x 軸的直線交于點(diǎn) M.求證：點(diǎn) M 在定直線上；直線 l 與 y 軸交于點(diǎn) G，記PFG 的面積為 S1，PDM 的面積為 S2，求S1S2的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo).(1)解由題意知a2b2a32，可得 a24b2，因?yàn)閽佄锞€ E 的焦點(diǎn) F0，12 ，所以 b12，a1，所以橢圓 C 的方程為 x24y21.(2)證明設(shè) Pm，m22 (m0)，由 x22y，可得 yx，所以直線 l 的斜率為 m，因此直線 l 的方程為 ym22m(xm).即 ymxm22.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).聯(lián)立方程x24y21，ymxm22，得(4m21)x24m3xm410.由0，得 0m 2 5(或 0m22 5).(*)且 x1x24m34m21， 因此 x02m34m21， 將其代入 ymxm22， 得 y0m22（4m21），因?yàn)閥0 x014m.所以直線 OD 方程為 y14mx，聯(lián)立方程y14mx，xm，得點(diǎn) M 的縱坐標(biāo) yM14，所以點(diǎn) M 在定直線 y14上.由知直線 l 的方程為 ymxm22，令 x0，得 ym22，所以 G0，m22 ，又 Pm，m22 ，F(xiàn)0，12 ，D2m34m21，m22（4m21） ，所以 S112|GF|m（m21）m4，S212 |PM| |m x0| 122m2142m3m4m21m（2m21）28（4m21）. 所 以S1S22（4m21） （m21）（2m21）2.設(shè) t2m21，則S1S2（2t1） （t1）t22t2t1t21t21t2，當(dāng)1t12，即 t2 時(shí)，S1S2取到最大值94，此時(shí) m22，滿足(*)式，所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為22，14 .因此S1S2的最大值為94，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為22，14 .【類題通法】圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、或利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系、利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式等方法求最值、范圍；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖，設(shè)拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F，拋物線上的點(diǎn) A 到 y 軸的距離等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直線 AF 交拋物線于另一點(diǎn) B，過 B 與 x 軸平行的直線和過 F 與 AB 垂直的直線交于點(diǎn) N，AN 與 x 軸交于點(diǎn) M，求 M 的橫坐標(biāo)的取值范圍.解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn) A 到焦點(diǎn) F 的距離等于點(diǎn) A 到直線 x1 的距離，由拋物線的定義得p21，即 p2.(2)由(1)得，拋物線方程為 y24x，F(xiàn)(1，0)，可設(shè) A(t2，2t)，t0，t1.因?yàn)?AF 不垂直于 y 軸，可設(shè)直線 AF：xsy1(s0)，由y24x，xsy1消去 x 得 y24sy40.故 y1y24，所以 B1t2，2t .又直線 AB 的斜率為2tt21，故直線 FN 的斜率為t212t，從而得直線 FN：yt212t(x1)，直線 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t .設(shè) M(m，0)，由 A，M，N 三點(diǎn)共線得2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m2t2t21，所以 m0 或 m2.經(jīng)檢驗(yàn)，m0 或 m2 滿足題意.綜上，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)(2，).熱點(diǎn)四圓錐曲線中的探索性問題圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在； (3)探索命題是否成立.涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.【例 4】已知橢圓 C：9x2y2m2(m0)，直線 l 不過原點(diǎn) O 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B，線段 AB 的中點(diǎn)為 M.(1)證明：直線 OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值；(2)若 l 過點(diǎn)m3，m，延長(zhǎng)線段 OM 與 C 交于點(diǎn) P，四邊形 OAPB 能否為平行四邊形？若能，求此時(shí) l 的斜率；若不能，說明理由.(1)證明設(shè)直線 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).將 ykxb 代入 9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故 xMx1x22kbk29，yMkxMb9bk29.于是直線 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直線 OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值.(2)解四邊形 OAPB 能為平行四邊形.因?yàn)橹本€ l 過點(diǎn)m3，m， 所以 l 不過原點(diǎn)且與 C 有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是 k0， k3.由(1)得 OM 的方程為 y9kx.設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 xP，由y9kx，9x2y2m2得 x2Pk2m29k281，即 xPkm3 k29.將點(diǎn)m3，m的坐標(biāo)代入 l 的方程得 bm（3k）3，因此 xMk（k3）m3（k29）.四邊形 OAPB 為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB 與線段 OP 互相平分，即 xP2xM.于是km3 k292k（k3）m3（k29），解得 k14 7，k24 7.因?yàn)?ki0，ki3，i1，2，所以當(dāng) l 的斜率為 4 7或 4 7時(shí)，四邊形 OAPB為平行四邊形.【類題通法】(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過點(diǎn) C(2，0)的直線與拋物線 y24x 相交于 A，B 兩點(diǎn)，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求證：y1y2為定值；(2)是否存在平行于 y 軸的定直線被以 AC 為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長(zhǎng)；如果不存在，說明理由.(1)證明法一當(dāng)直線 AB 垂直于 x 軸時(shí)，y12 2，y22 2.因此 y1y28(定值).當(dāng)直線 AB 不垂直于 x 軸時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 yk(x2)，由yk（x2） ，y24x，得 ky24y8k0.y1y28.因此有 y1y28 為定值.法二設(shè)直線 AB 的方程為 myx2，由myx2，y24x，得 y24my80.y1y28.因此有 y1y28 為定值.(2)解設(shè)存在直線 l：xa 滿足條件，則 AC 的中點(diǎn) Ex122，y12 ，|AC| （x12）2y21.因此以 AC 為直徑的圓的半徑r12|AC|12（x12）2y2112x214，又點(diǎn) E 到直線 xa 的距離 d|x122a|故所截弦長(zhǎng)為2 r2d2214（x214）x122a2 x214（x122a）2 4（1a）x18a4a2.當(dāng) 1a0，即 a1 時(shí)，弦長(zhǎng)為定值 2，這時(shí)直線方程為 x1.