高考數學精品復習資料 2019.5第六十六課時 隨機變量的數學期望與方差 課前預習案考綱要求1.理解隨機變量的均值、方差的意義、作用，能解決一些簡單的實際問題2.理解二項分布、超幾何分步的數學期望與方差.基礎知識梳理1 離散型隨機變量的數學期望與方差設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x1，x2，xn，這些值對應的概率是p1，p2，pn.(1)數學期望：稱E(X) 為離散型隨機變量X的均值或數學期望(簡稱期望)，它刻畫了這個離散型隨機變量的 (2)方差：稱D(X) 叫做這個離散型隨機變量X的方差，即反映了離散型隨機變量取值相對于期望的 (或說離散程度)，D(X)的算術平方根叫做離散型隨機變量X的標準差2 二點分布與二項分布、超幾何分布的期望、方差期望方差變量X服從二點分布XB(n，p)X服從參數為N，M，n的超幾何分布 預習自測1 若隨機變量的分布列如下表，則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xx2某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數若P(X0)，則隨機變量X的數學期望E(X)_.3 某射手射擊所得環(huán)數的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E()8.9，則y的值為()A0.4 B0.6 C0.7 D0.94 已知X的分布列為X101P設Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4 C1 D15 設隨機變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，則()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45課堂探究案典型例題考點1離散型隨機變量的均值、方差【典例1】(20xx年高考湖北卷)根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率【變式1】某中學在高三開設了4門選修課，每個學生必須且只需選修1門選修課對于該年級的甲、乙、丙3名學生，回答下面的問題：(1)求這3名學生選擇的選修課互不相同的概率；(2)某一選修課被這3名學生選修的人數的數學期望考點2二項分布的均值、方差【典例2】某人投彈命中目標的概率p0.8.(1)求投彈一次，命中次數X的均值和方差；(2)求重復10次投彈時命中次數Y的均值和方差【變式2】為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活沙柳的株數，數學期望E()3，標準差為.(1)求n，p的值并寫出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率考點3 均值與方差的應用【典例3】現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資10萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、；已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關，在每次調整中，價格下降的概率都是p(0<p<1)，設乙項目產品價格在一年內進行兩次獨立的調整記乙項目產品價格在一年內的下降次數為X，對乙項目每投資10萬元，X取0、1、2時，一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機變量X1、X2分別表示對甲、乙兩項目各投資10萬元一年后的利潤(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)當E(X1)<E(X2)時，求p的取值范圍【變式3】A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2，根據市場分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0x100)萬元投資A項目，100x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值當堂檢測1 已知某一隨機變量X的概率分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D82已知X的分布列為X101P且YaX3，E(Y)，則a的值為()A1 B2 C3 D43 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.44 體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止設學生一次發(fā)球成功的概率為p(p0)，發(fā)球次數為X，若X的數學期望E(X)>1.75，則p的取值范圍是()A. B. C. D.5 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_6 有一批產品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數，則D(X)_.7馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請小牛同學計算的數學期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數值相同據此，小牛給出了正確答案E()_.課后拓展案 A組全員必做題1 若X是離散型隨機變量，P(Xx1)，P(Xx2)，且x1<x2，又已知E(X)，D(X)，則x1x2的值為 ()A. B. C3 D.2 已知拋物線yax2bxc (a0)的對稱軸在y軸的左側，其中a，b，c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機變量|ab|的取值，則的數學期望E()為()A. B. C. D.3 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為()A. B. C. D.4 罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設為取得紅球的次數，則的期望E()_.5 簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽，從中任意取3支，設X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數學期望為_6為了某項大型活動能夠安全進行，警方從武警訓練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應三項指標進行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應的概率分別為，.這三項測試能否通過相互之間沒有影響(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數得訓練經費(每入選1人，則相應的訓練基地得到3 000元的訓練經費)，求該基地得到訓練經費的分布列與數學期望B組提高選做題1 設l為平面上過點(0,1)的直線，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐標原點到l的距離，則隨機變量的數學期望E()_.2某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：(1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；(2)申請的房源所在片區(qū)的個數的分布列與期望3.(20xx年高考新課標全國卷)某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，nN)的函數解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數學期望及方差若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由參考答案預習自測1【答案】【解析】根據概率之和為1，求出x，則E()02x13x5x40x.2【答案】【解析】由題意知P(X0)(1p)2，p.隨機變量X的分布列為X0123PE(X)0123.3【答案】A【解析】由，可得y0.4.4 【答案】A【解析】E(X)(1)01.E(Y)2E(X)323.5 【答案】A【解析】XB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，典型例題【典例1】【解析】(1)由已知條件和概率的加法公式有P(X<300)0.3，P(300X<700)P(X<700)P(X<300)0.70.30.4，P(700X<900)P(X<900)P(X<700)0.90.70.2，P(X900)1P(X<900)10.90.1.所以Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延誤天數Y的均值為3，方差為9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X300)1P(X<300)0.7，又P(300X<900)P(X<900)P(X<300)0.90.30.6.由條件概率，得P(Y6|X300)P(X<900|X300).故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.【變式1】【解析】(1)3名學生選擇的選修課互不相同的概率：p1；(2)設某一選修課被這3名學生選擇的人數為，則0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列為0123P數學期望E()0123.【典例2】【解析】(1)隨機變量X的分布列為X01P0.20.8因為X服從二點分布，故E(X)p0.8，D(X)p(1p)0.80.20.16.(2)由題意知，命中次數Y服從二項分布，即YB(10，0.8)，E(Y)np100.88，D(Y)np(1p)100.80.21.6.探究提高若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)【變式2】【解析】(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456P(2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)P(3)，得P(A)【典例3】【解析】(1)X1的概率分布列為X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18.由題設得XB(2，p)，即X的概率分布列為X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列為X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得p20.1p1.3>1.18，整理得(p0.4)(p0.3)<0，解得0.4<p<0.3.因為0<p<1，所以當E(X1)<E(X2)時，p的取值范圍是0<p<0.3.【變式3】【解析】(1)由題設可知Y1和Y2的分布列為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)DD2D(Y1)2D(Y2)x23(100x)2(4x2600x31002)當且僅當x75時，f(x)3為最小值當堂檢測1 【答案】C【解析】由分布列性質知：0.50.1b1，b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3，a7.2【答案】B【解析】先求出E(X)(1)01.再由YaX3得E(Y)aE(X)3.a3.解得a2.3【答案】C【解析】X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064E(X)30.620.2410.09600.0642.376.4 【答案】C【解析】由已知條件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，則E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3>1.75，解得p>或p<，又由p(0,1)，可得p.5 【答案】0.7【解析】E(X)10.700.30.7.6 【答案】【解析】由題意知取到次品的概率為，XB，D(X)3.7【答案】2【解析】設“？”處的數值為x，則“！”處的數值為12x，則E()1x2(12x)3xx24x3x2. A組全員必做題1 【答案】C【解析】分析已知條件，利用離散型隨機變量的均值和方差的計算公式得：解得或又x1<x2，x1x23.故選C.2【答案】A【解析】拋物線的對稱軸在y軸的左側，<0，即>0，也就是a，b必須同號，的分布列為012PE()012.3 【答案】D【解析】由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0<a<，0<b<1.又32，當且僅當，即a2b時取“等號”，又3a2b2，即當a，b時，的最小值為，故選D.4【答案】【解析】因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，為取得紅球(成功)的次數，則B，從而有E()np4.5【答案】5.25【解析】由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數學期望的定義可求得E(X)5.25.6解(1)設A通過體能、射擊、反應分別記為事件M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP).答A能夠入選的概率為.(2)P(沒有入選任何人)4，P(入選了一人)C3，P(入選了兩人)C22，P(入選了三人)C3，P(入選了四人)C4，記表示該訓練基地得到的訓練經費，該基地得到訓練經費的分布列為03 0006 0009 00012 000PE()3 0006 0009 00012 0008 000(元)所以，該基地得到訓練經費的數學期望為8 000元B組提高選做題1【答案】【解析】當l的斜率k為2時，直線l的方程為2xy10，此時坐標原點到l的距離d；當k為時，d；當k為時，d；當k為0時，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1P所以E()1.2解(1)方法一所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有C22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為.方法二設對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A).從而，由獨立重復試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為P4(2)C22.(2)的所有可能值為1,2,3.又P(1)，P(2)，P(3).綜上知，的分布列為123P從而有E()123.3解(1)當日需求量n16時，利潤y80.當日需求量n<16時，利潤y10n80.所以y關于n的函數解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數學期望為E(X)600.1700.2800.776.X的方差為D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.法一花店一天應購進16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數學期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的計算結果可以看出，D(X)<D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較小另外，雖然E(X)<E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應購進16枝玫瑰花法二花店一天應購進17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數學期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的計算結果可以看出，E(X)<E(Y)，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤故花店一天應購進17枝玫瑰花