6、
探究點三 相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用
例3 如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，過D與BC平行的直線交AB于點E，∠ACE＝∠ABC，求證：ABCE＝ACDE.
變式遷移3 如圖，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E、F兩點，證明AFAD＝AGBF.
1．用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件．特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時，一定要注意對應(yīng)線段，對應(yīng)邊．
2．利用平行線等分線段定理將某線段任意等分
7、，需要過線段的一個端點作輔助線，在作圖時要注意保留作圖痕跡．
3．在證明兩個或兩個以上的比例式相等時，需要找第三個比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得出結(jié)論．
4．判定兩個三角形相似，根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理．
(滿分：75分)
一、填空題(每小題5分，共40分)
1．如圖所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正確的有________(填序號)．
(1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝.
2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的一點，過D點作DE∥BC交AC于E.已知＝，則＝______
8、____________________________________.
3．如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則＋＝________.
4．在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩部分，這兩部分的比為3∶2，則斜邊上的中線的長為________．
5．(2010蘇州模擬)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________.
6．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC的長為4，則EG＝____
9、____.
7．(2010天津武清一模)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，則DE＝________.
8．如圖所示，BD、CE是△ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則＝________.
二、解答題(共35分)
9．(11分)如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，交AD于F，求證：＝.
10．(12分)如圖，△ABC中，D是BC的中點，M是AD上一點，BM、CM的延長線分別交AC、AB于F、E.
求證：EF∥BC.
10、
11．(12分)(2010蘇州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長線分別相交于點M，N，R，S和P，
求證：PMPN＝PRPS.
73 幾何證明選講
(一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)
自主梳理
2．成比例 兩邊的延長線 成比例 相交 成比例
3．相等 夾角 5.斜邊上的射影 乘積 平方
自我檢測
1．8 2.③
3.
解析 由射影定理：CD2＝ADBD.
∴AD＝，∴AC＝＝＝.
4.
解析 ∵＝＝，∴BD
11、＝cm.
5．4
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，
∴CD＝8.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，
∴△ABE∽△ADC，∴＝，
∴BE＝＝＝4.
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 利用平行線等分線段定理可對線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長度的n條線段，最后過輔助線上的各等分點作平行線，確定所求線段的n等分點．
解 在線段PQ上求作點D，使PD∶DQ＝2∶1，就是要作出線段PQ上靠近Q點的一個三等分點，通過線段PQ的一個端點作輔助射線，并取線段的三等分點，利用平行線等分線段定理確定D點的
12、位置．
作法：①作射線PN.
②在射線PN上截取PB＝2a，BC＝a.
③連接CQ.
④過點B作CQ的平行線，交PQ于D.
∴點D即為所求的點．
變式遷移1
解 假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于點F，則F為EC的中點，
作EG∥AC交BD于G.
∵EG∥AC，EF＝FC，
∴△EGF≌△CDF，且EG＝DC，
∴EG綊AD，△BEG∽△BAD，
∴＝＝，∴E為AB的中點．
∴當(dāng)E為AB的中點時，EC的中點在BD上．
例2 解題導(dǎo)引 證明線段成比例問題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法．
證明 作E
13、G∥AB交BC于G，如圖所示，
∵△CEG∽△CAB，
∴＝，即＝＝，
又∵＝，∴＝.
變式遷移2 解 如圖，過點F作FH∥EC，分別交BA，DC的延長線于點G，H，由EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG＝CH＝EF，F(xiàn)G＝AE，F(xiàn)H＝EC.從而FG∶FH＝AE∶EC＝m∶n.
由BG∥DH，知BG∶DH＝FG∶FH＝m∶n.
設(shè)EF＝x，則得(x＋a)∶(x＋b)＝m∶n.
解得x＝，
即EF＝.
例3 解題導(dǎo)引 有關(guān)兩線段的比值的問題，除了應(yīng)用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解．解題中要注意觀察圖形特點，巧添輔助線，對解題可起到事半功倍的
14、效果．
證明 方法一 ∵AB∥CD，
∴＝，即＝.①
∵DE∥BC，
∴＝，即＝.②
由①②得＝，③
∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC，
∴△EFC∽△ECD.
∴＝.④
由③④得＝，
即ABCE＝ACDE.
方法二 ∵AB∥CD，DE∥BC，
∴BEDC是平行四邊形．
∴DE＝BC.
∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，
∴△AEC∽△ACB.∴＝.
∴＝，即ABCE＝ACDE.
變式遷移3 證明 因為四邊形ABCD為平行四邊形，
所以AB∥DC，AD∥BC.
所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.
所以△ABF∽△GDA.
從而
15、有＝，即AFAD＝AGBF.
課后練習(xí)區(qū)
1．(4)
解析 由平行線分線段成比例定理可知(4)正確．
2.
解析 由＝知，＝，＝，故＝.
3．1
解析 ∵EF∥BC，∴＝，
又∵FG∥AD，∴＝，
∴＋＝＋＝＝1.
4.
解析 設(shè)斜邊上的兩段的長分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t2t，解得t＝(t>0，舍去負(fù)根)，所以斜邊的長為5，故斜邊上的中線的長為.
5．15
解析 ∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝，
∵OE∥AD，∴＝＝，
∴OE＝AD＝12＝，
同理可求得OF＝BC＝20＝，
∴EF＝OE＋OF＝15.
6．2
解析 連接DE
16、，因為AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形，則DE＝AB＝BE＝DC.又因為DG⊥CE于G，所以DG平分CE，故EG＝2.
7．6
解析 設(shè)DE＝x，∵DE∥AC，
∴＝，解得BE＝.
∴＝＝＝.
又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝，
解得x＝6.
8.
解析 連接DE，延長QP交AB于N，
則
得PQ＝BC.
9．證明 由三角形的內(nèi)角平分線定理得，
在△ABD中，＝，①
在△ABC中，＝，②(3分)
在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BDBC，
即＝.③(6分)
由①③得：＝，④(9分)
由②④得：＝.(11分)
10．證明 延長AD至G，使DG＝M
17、D，連接BG、CG.
∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四邊形BGCM為平行四邊形．(4分)
∴EC∥BG，F(xiàn)B∥CG，
∴＝，＝，
∴＝，(8分)
∴EF∥BC.(12分)
11．證明 ∵BO∥PM，
∴＝，(2分)
∵DO∥PS，
∴＝，∴＝.(4分)
即＝，由BO∥PR
得＝.(6分)
由DO∥PN得＝.(8分)
∴＝，即＝，
∴＝.∴PMPN＝PRPS.(12分)
74 幾何證明選講
(二)直線與圓的位置關(guān)系
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓
18、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定．
自主梳理
1．圓周角、弦切角及圓心角定理
(1)__________的度數(shù)等于其的對______的度數(shù)的一半．
推論1：________(或________)所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角__________相等．
推論2：半圓(或直徑)所對的__________等于90.反之，90的圓周角所對的弧是________(或__________)．
(2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的____．
(3)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．
2．圓中比例線段有關(guān)定理
(1)相交弦定理：______的兩條____________，每條弦被
19、交點分成的____________的積相等．
(2)切割線定理：從圓外一點引圓的一條割線和一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段長的____________．
(3)割線定理：從圓外一點引圓的兩條________，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．
溫馨提示 相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系，在與圓有關(guān)的比例線段問題的證明、計算以及證明線段或角相等等問題中應(yīng)用甚廣．
3．切線長定理
從________一點引圓的兩條切線，__________相等．
4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理
(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角______
20、__．
推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)角的________．
(2)判定定理：如果四邊形的__________，則四邊形內(nèi)接于____．
推論：如果四邊形的一個外角等于它的____________，那么這個四邊形的四個頂點________．
5．圓的切線的性質(zhì)及判定定理
(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的________．
推論1：經(jīng)過________且________與垂直的直線必經(jīng)過切點．
推論2：經(jīng)過________且切線與垂直的直線必經(jīng)過______________________________．
(2)判定定理：過半徑________且與這條半徑
21、________的直線是圓的切線．
自我檢測
1．如圖在Rt△ABC中，∠B＝90，D是AB上一點，且AD＝2DB，以D為圓心，DB為半徑的圓與AC相切，則sin A＝________.
2．(2010南京模擬)如圖，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC長為________．
3．(2011湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________．
4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于點D，若AD＝32，CD＝18，則AB＝_____
22、___.
5．(2010揭陽模擬)如圖，已知P是⊙O外一點，PD為⊙O的切線，D為切點，割線PEF經(jīng)過圓心O，PF＝12，PD＝4，則圓O的半徑長為________、∠EFD的度數(shù)為________.
探究點一 與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定
例1 如圖，⊙O的兩條弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足為點E.求證：OE＝CD.
變式遷移1 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點N；若AC＝AB，求證：BN＝3MN.
探究點二 四點共圓的判定
例
23、2 如圖，四邊形ABCD中，AB、DC的延長線交于點E，AD，BC的延長線交于點F，∠AED，∠AFB的角平分線交于點M，且EM⊥FM.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓．
變式遷移2 如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點．
(1)證明：A，P，O，M四點共圓；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
探究點三 與圓有關(guān)的比例線段的證明
例3 如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B，C，
24、∠APC的角平分線分別與AB，AC相交于點D，E，求證：
(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DBEC.
變式遷移3 (2010全國)
如圖，已知圓上的?。剑^C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BECD.
1．圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時有較普遍的應(yīng)用，尤其是利用定理進行等角代換與傳遞．
2．要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結(jié)直線與圓的公共點和圓心證垂直；遇到直徑時，一般要引直徑所對的圓
25、周角，利用直徑所對的圓周角是直角解決有關(guān)問題．
3．判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明．
4．證明多點共圓的常用方法：
(1)證明幾個點與某個定點距離相等；
(2)如果某兩點在某條線段的同旁，證明這兩點對這條線段的張角相等；
(3)證明凸四邊形內(nèi)對角互補(或外角等于它的內(nèi)角的對角)．
5．圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比．
(滿分：75分)
一、填空題(每小題5分，共40分)
1．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB＝CD，
26、OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別是E，F(xiàn)，則結(jié)論①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正確的有________個．
2．(2010湖南)如圖所示，過⊙O外一點P作一條直線與⊙O交于A、B兩點．已知PA＝2，點P到⊙O的切線長PT＝4，則弦AB的長為________．
3．(2010陜西)
如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm,4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則＝________.
4．(2009廣東)如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝45，則圓O的面積為________．
5．已知PA是圓O的切線，切
27、點為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB＝1，則圓O的半徑R＝________.
6．如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD＝2，AB＝3.則BD的長為________．
7．(2011天津)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．
8．(2010天津)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P.若＝，＝，則的值為________．
二、解答題(共35分)
9．(11分)如圖，三
28、角形ABC中，AB＝AC，⊙O經(jīng)過點A，與BC相切于B，與AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半徑r.
10．(12分)(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.
11．(12分)(2011江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值．
74 幾何證明選講
(二)直線與圓的位置關(guān)系
自主梳理
1．(1)圓周
29、角 弧 同弧 等弧 所對的弧 圓周角 半圓 弦為直徑 (2)一半
2.(1)圓 相交弦 兩條線段長
(2)等比中項 (3)割線 3.圓外 切線長 4.(1)互補 對角 (2)對角互補 圓 內(nèi)角的對角 共圓
5．(1)半徑 圓心 切線 切點 圓心 (2)外端 垂直
自我檢測
1.
解析 設(shè)切點為T，則DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，
∴∠A＝30，sin A＝.
2．2
解析 連接CB，則∠DCA＝∠CBA，
又∠ADC＝∠ACB＝90，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝.
∴AC2＝ABAD＝26＝12.
∴AC＝2.
3.
解析 如圖，連接CE，AO，
30、AB.根據(jù)A，E是半圓周上的兩個三等分點，BC為直徑，可得∠CEB＝90，∠CBE＝30，∠AOB＝60，故△AOB為等邊三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝.
4．40
解析 如圖，連接BD，則BD⊥AC，由射影定理知，
AB2＝ADAC＝3250＝1 600，故AB＝40.
5．4 30
解析 由切割線定理得PD2＝PEPF，
∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4.
又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30，
∠POD＝60＝2∠EFD，∴∠EFD＝30.
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)借用等弦或等弧所對圓周角相等，所對的圓心角相等，進行
31、角的等量代換；同時也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對的弧相等，進行弧(或弦)的等量代換．
(2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法．
證明 作直徑AF，連接BF，CF，則∠ABF＝∠ACF＝90.
又OE⊥AB，O為AF的中點，
則OE＝BF.
∵AC⊥BD，
∴∠DBC＋∠ACB＝90，
又∵AF為直徑，∠BAF＋∠BFA＝90，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.
從而得OE＝CD.
變式遷移1 證明 ∵CM是∠ACB的平分線，
∴＝，
即BC＝AC，
又由割線定理得BMBA＝BNBC，
∴B
32、NAC＝BMBA，
又∵AC＝AB，∴BN＝3AM，
∵在圓O內(nèi)∠ACM＝∠MCN，
∴AM＝MN，∴BN＝3MN.
例2 解題導(dǎo)引 證明多點共圓，當(dāng)它們在一條線段同側(cè)時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補．
證明 連接EF，
因為EM是∠AEC的角平分線，
所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.
同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.
而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD
＝(180－∠FEC－∠EFC)＋(180－∠FEA－∠EFA)
＝360－2(∠FEM＋∠EFM)
33、
＝360－2(180－∠EMF)＝2∠EMF＝180，
即∠BCD與∠BAD互補．
所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓．
變式遷移2 (1)證明 連接OP，OM，
因為AP與⊙O相切于點P，
所以O(shè)P⊥AP.
因為M是⊙O的弦BC的中點，所以O(shè)M⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180，
由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，
所以A，P，O，M四點共圓．
(2)解 由(1)得A，P，O，M四點共圓，
所以∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，
可知∠OPM＋∠APM＝90，
所以∠OAM＋∠APM＝90.
例3
34、 解題導(dǎo)引 尋找適當(dāng)?shù)南嗨迫切危褞讞l要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式，使問題得證．
證明 (1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.
因PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB.
所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
(2)?△PCE∽△PAD?＝；
?△PAE∽△PBD?＝.
又PA是切線，PBC是割線?PA2＝PBPC?＝.
故＝，又AD＝AE，故AD2＝DBEC.
變式遷移3 證明 (1)因為＝，所以∠BCD＝∠ABC.
又因為EC與圓相切于點C，故
35、∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BECD.
課后練習(xí)區(qū)
1．4
解析 ∵在同圓或等圓中，等弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對弦心距相等，故①②③成立，又由＝，得＝，∴④正確．
2．6
解析 連接BT，由切割線定理，
得PT2＝PAPB，
所以PB＝8，故AB＝6.
3.
解析?。?＝?AD＝?BD＝(cm)，＝.
4．8π
解析 連接OA，OB，
∵∠BCA＝45，
∴∠AOB＝90.
設(shè)圓O的半徑為R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴
36、R2＝8.
∴圓O的面積為8π.
5.
解析 如圖，依題意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60，
在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan 60＝2，
∴R＝.
6．4
解析 由切割線定理得：DBDA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.
7.
解析 設(shè)BE＝a，則AF＝4a，F(xiàn)B＝2a.
∵AFFB＝DFFC，∴8a2＝2，∴a＝，
∴AF＝2，F(xiàn)B＝1，BE＝，∴AE＝.
又∵CE為圓的切線，∴CE2＝EBEA＝＝.
∴CE＝.
8.
解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△P
37、CB∽△PAD.∴＝＝.
∵＝，＝，∴＝.
9.
解 過B點作BE∥AC交圓于點E，連接AE，BO并延長交AE于F，
由題意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分)
又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，則AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，(4分)
則AE∥BC，四邊形ACBE為平行四邊形．
∴BF⊥AE.又BC2＝CDAC＝2，
∴BC＝，BF＝＝.(8分)
設(shè)OF＝x，則
解得r＝.(11分)
10．證明 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分)
故A、B、C、D四點共圓，(5分)
從而∠CAB＝∠CDB.(7分)
再由△ABC≌△
38、BAD得∠CAB＝∠DBA，
因此∠DBA＝∠CDB，(10分)
所以AB∥CD.(12分)
11.
證明 如圖，連接AO1并延長，分別交兩圓于點E和點D.連接BD，CE.因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．(5分)
從而∠ABD＝∠ACE＝.(7分)
所以BD∥CE，于是＝＝＝.(10分)
所以AB∶AC為定值．(12分)
75 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解坐標(biāo)系的有關(guān)概念，理解簡單圖形的極坐標(biāo)方程.2.會進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會進行參數(shù)方程與普通方程的
39、互化，并能進行簡單應(yīng)用．
自主梳理
1．極坐標(biāo)系的概念
在平面上取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個____________．
設(shè)M是平面上任一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的________，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的________，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的__________，記作(ρ，θ)．
2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化
把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長
40、度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為x＝__________，y＝__________.另一種關(guān)系為：ρ2＝__________，tan θ＝______________.
3．簡單曲線的極坐標(biāo)方程
(1)一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0的點都在曲線上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲線的____________．
(2)常見曲線的極坐標(biāo)方程
①圓的極坐標(biāo)方程
____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓；
____________表示圓心在
41、(r，)半徑為|r|的圓；
________表示圓心在極點，半徑為|r|的圓．
②直線的極坐標(biāo)方程
____________表示過極點且與極軸成α角的直線；
____________表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；
____________表示過(b，)且平行于極軸的直線；
ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示過(ρ0，θ0)且與極軸成α角的直線方程．
4．常見曲線的參數(shù)方程
(1)直線的參數(shù)方程
若直線過(x0，y0)，α為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義．
(2)圓的參數(shù)方程
若圓心在點M(a，b)，半徑為R
42、，則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π.
(3)橢圓的參數(shù)方程
中心在坐標(biāo)原點的橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．
(4)拋物線的參數(shù)方程
拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為
自我檢測
1．(2010北京)極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是( )
A．兩個圓 B．兩條直線
C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線
2．(2010湖南)極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是( )
A．圓、直線 B．直線、圓
C．圓、圓 D．直線、直線
3．(2010重慶)直線y＝x＋與圓心為D的圓(θ
43、∈[0,2π))交于A、B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為( )
A.π B.π
C.π D.π
4．(2011廣州一模)在極坐標(biāo)系中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________．
5．(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝1，則直線l與圓C的交點的直角坐標(biāo)為________________.
探究點一 求曲線的極坐標(biāo)方程
例1 在極坐標(biāo)系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為________．
變式遷移1 如圖，求經(jīng)過點A(a,
44、0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標(biāo)方程．
探究點二 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化
例2 (2009遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點．
(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；
(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．
變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin(θ－)＝，
(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
45、
(2)當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)．
探究點三 參數(shù)方程與普通方程的互化
例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程：
(1)；(2)；(3).
變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖．
(1)(θ為參數(shù))；
(2) (t為參數(shù))．
探究點四 參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用
例4 求圓ρ＝3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長．
變式遷移4 (2011課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
46、(α為參數(shù))
M是C1上的動點，P點滿足＝2，P點的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.
本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點：一、簡單曲線的極坐標(biāo)方程可結(jié)合極坐標(biāo)系中ρ和θ的具體含義求出，也可利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化得出．同直角坐標(biāo)方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會不同．在沒有充分理解極坐標(biāo)的前提下，可先化成直角坐標(biāo)解決問題．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，這時可借助于一個中間變量(即參數(shù))來找到變量x，y之間
47、的關(guān)系．同時，在直角坐標(biāo)系中，很多比較復(fù)雜的計算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來解決，將會大大簡化計算量．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性．參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等．同極坐標(biāo)方程一樣，在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標(biāo)方程再去解決相關(guān)問題．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．在極坐標(biāo)系中，與點(3，－)關(guān)于極軸所在直線對稱的點的極坐標(biāo)是( )
A．(3，π)
48、 B．(3，) C．(3，π) D．(3，π)
2．曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos2－1的直角坐標(biāo)方程為( )
A．x2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋y2＝
C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1
3．(2010湛江模擬)在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是ρ＝4sin θ，過點(4，)作曲線C的切線，則切線長為( )
A．4 B. C．2 D．2
4．(2010佛山模擬)已知動圓方程x2＋y2－xsin 2θ＋2ysin(θ＋)＝0(θ為參數(shù))，那么圓心的軌跡是( )
A．橢圓 B．橢圓的一部分
C．拋物線
49、 D．拋物線的一部分
5．(2010安徽)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010天津)已知圓C的圓心是直線(t為參數(shù))與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________．
7．(2011廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點坐標(biāo)為________．
8．(2010廣東深圳高級中學(xué)一模)在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點O為極
50、點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程．
10．(12分)(2010福建)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|.
51、
11．(14分)(2010課標(biāo)全國)已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(θ為參數(shù))．
(1)當(dāng)α＝時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；
(2)過坐標(biāo)原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當(dāng)α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．
75 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
自主梳理
1．極軸 極坐標(biāo)系 極徑 極角 極坐標(biāo) 2.ρcos θ ρsin θ x2＋y2 (x≠0) 3.(1)極坐標(biāo)方程 (2)①ρ＝2rcos θ ρ＝2rsin θ ρ＝r ②θ＝α(ρ∈R) ρcos θ＝a ρsin θ＝b
自
52、我檢測
1．C 2.A 3.C
4．4
5．(－1,1)，(1,1)
解析 ∵y＝ρsin θ，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝1.
由得x2＋(y－1)2＝1.
由得或
∴直線l與圓C的交點的直角坐標(biāo)為(－1,1)和(1,1)．
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點；②由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；③將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；④證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過程正確，化簡過程都是同解變形，這一證明可以省略．
答案 ρ
53、＝asin θ，0≤θ<π
解析 圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點A(ρ，θ)，
則∠AOC＝－θ或θ－，
即∠AOC＝|θ－|.
又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ.
∴圓的方程是ρ＝asin θ，0≤θ<π.
變式遷移1 解 設(shè)P(ρ，θ)是直線l上任意一點，OPcos θ＝OA，
即ρcos θ＝a，
故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a.
例2 解題導(dǎo)引 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如ρc
54、os θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗．
解 (1)由ρcos＝1得
ρ＝1.
從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，
即x＋y＝2，當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)．
當(dāng)θ＝時，ρ＝，所以N.
(2)M點的直角坐標(biāo)為(2,0)．
N點的直角坐標(biāo)為(0，)．
所以P點的直角坐標(biāo)為，
則P點的極坐標(biāo)為，
所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．
變式遷移2 解 (1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρs
55、in θ，
圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0.
直線l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
則直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)為(1，)．
例3 解題導(dǎo)引 參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程．對于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運用代入法消去k；對于(2)可運用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；對于(3)可運用恒等式()2＋()2＝1消去t.
另外，參數(shù)方程化為普通方程時，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方
56、程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致．
解 (1)兩式相除，得k＝.將k＝代入，得x＝.
化簡，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，
得y2＝2－x.
又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]．
(3)由()2＋()2＝1，
得x2＋4y2＝1.
又x＝≠－1，
得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．
變式遷移3 解 (1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x，
得y2＝2x＋1.
∵－≤si
57、n 2θ≤，∴－≤x≤.
∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤.
故所求普通方程為
y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，圖形為拋物線的一部分．
圖形如圖甲所示．
(2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求軌跡為兩段圓弧x2＋y2＝1 (0
58、經(jīng)過圓心，
所以圓被直線截得的弦長為3.
變式遷移4 解 (1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M(，)．
由于M點在C1上，
所以即
從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sin θ.
射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin，
射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
課后練習(xí)區(qū)
1．B [由于極徑不變，極角關(guān)于極軸對稱，
∴其對稱點為(3，)．故選B.]
2．B [∵ρ＝2cos2－1，∴ρ2＝ρcos θ即x2＋y2＝x，
∴(x－)2＋y2＝.]
59、
3．C [ρ＝4sin θ化為普通方程為x2＋(y－2)2＝4，點(4，)化為直角坐標(biāo)為(2，2)，切線長、圓心到定點的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為＝2，故選C.]
4．D [圓心軌跡的參數(shù)方程為
即
消去參數(shù)得y2＝1＋2x(－≤x≤)，故選D.]
5．B [∵曲線C的方程為(θ為參數(shù))，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l為x－3y＋2＝0，
∴圓心(2，－1)到l的距離d＝＝＝.又∵<3，>3，∴有2個點．]
6．(x＋1)2＋y2＝2
解析 直線(t為參數(shù))與x軸的交點為(－1,0)，故圓C的圓心為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切
60、，∴圓C的半徑為r＝＝，∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.
7．(1，)
解析 將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為＋y2＝1(0≤y≤1，－
61、x－4)，(8分)
即x－2y－4＝0.(12分)
10．解 方法一 (1)ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.(4分)
(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得
(3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.(6分)
由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，所以
又直線l過點P(3，)，
故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.(12分)
方法二 (1)同方法一．
(2)因為圓C的圓心為點(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋.(8分)
由得x2－
62、3x＋2＝0.
解得或(10分)
不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)，又點P的坐標(biāo)為(3，)，
故|PA|＋|PB|＝＋＝3.(12分)
11．解 (1)當(dāng)α＝時，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1，聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點坐標(biāo)為(1,0)，(，－)．(7分)
(2)C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0.
A點坐標(biāo)為(sin2α，－cos αsin α)，
故當(dāng)α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為
(α為參數(shù))．(9分)
P點軌跡的普通方程為(x－)2＋y2＝.(12分)
故P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．
(14
63、分)
76 不等式選講
(一)絕對值不等式
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
自主梳理
1．含________________的不等式叫做絕對值不等式．
2．解含有絕對值的不等式的方法關(guān)鍵是去掉絕對值符號，基本方法有如下幾種：
(1)分段討論：
根據(jù)|f(x)|＝去掉絕對值符號．
(2)利用等價不等式：
|f(x)|≤g(x)
64、?－g(x)≤f(x)≤g(x)；
|f(x)|≥g(x)?f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．
(3)兩端同時平方：即運用移項法則，使不等式兩邊都變?yōu)榉秦?fù)數(shù)，再平方，從而去掉絕對值符號．
3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)與|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的絕對值不等式的解法主要有三種：
(1)運用絕對值的幾何意義；
(2)____________________；
(3)構(gòu)造分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解．
4．(1)定理：如果a，b，c是實數(shù)，則|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)____________時，等號成立．
(2)重要絕對值不等式|
65、|a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|.
使用時(特別是求最值時)要注意等號成立的條件，即
|a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0；
|a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0；
|a|－|b|＝|a＋b|?b(a＋b)≤0；
|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0；
注：|a|－|b|＝|a＋b|?|a|＝|a＋b|＋|b|?|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|?b(a＋b)≤0.
同理可得|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0.
自我檢測
1．(2010江西)不等式＞的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．
66、(－∞，0)∪(0，＋∞)
2．(2011天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，則集合A∩B＝________.
3．(2011濰坊模擬)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)<5 B．a(chǎn)≤5
C．a(chǎn)>5 D．a(chǎn)≥5
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|7＋x；
(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.
變式遷移1 (2011江蘇)解不等式x＋
三管齊下貴州省2014屆高三數(shù)學(xué) 第十三章 選修系列 理含解析新人教A版
