第3講 數(shù)學(xué)歸納法 A級　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取 (　　)． A．7 B．8 C．9 D．10 解析　左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8. 答案　B 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是 (　　)． A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立 解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k＋2為奇數(shù)． 答案　D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上 (　　)． 1 / 11 A. B．－ C.－ D.＋ 解析　∵當(dāng)n＝k時(shí)，左側(cè)＝1－＋－＋…＋－，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左側(cè)＝1－＋－＋…＋－＋－. 答案　C 4．對于不等式<n＋1(n∈N*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，<1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，不等式成立，即<k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝<＝＝(k＋1)＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法 (　　)． A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 解析　在n＝k＋1時(shí)，沒有應(yīng)用n＝k時(shí)的假設(shè)，故推理錯誤． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________． 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝，故填. 答案　 6．如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(n∈N*)行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是________________． 1 1　　1 1　　2　　1 1　　3　　3　　1 1　　4　　6　　4　　1 … 解析　所有數(shù)字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和為2n－1－(2n－1)＝2n－2n. 答案　2n－2n 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)和(2)可知，對n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立． 8．(13分)已知數(shù)列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，與數(shù)列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．記Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan. (1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值； (2)求證：T12n＝－4n(n∈N*)． (1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. ∵48＋4r＝64，∴r＝4. (2)證明　用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，T12n＝－4n. ①當(dāng)n＝1時(shí)，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立． ②假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即T12k＝－4k，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立． 根據(jù)①和②可以斷定：當(dāng)n∈N*時(shí)，T12n＝－4n. B級　能力突破 (時(shí)間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上 (　　)． A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析　∵當(dāng)n＝k時(shí)，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2 ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 答案　D 2．(2013廣州一模)已知1＋23＋332＋4＋33＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為 (　　)． A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c 解析　∵等式對一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3時(shí)等式成立，即 整理得 解得a＝，b＝c＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知整數(shù)對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個(gè)數(shù)對是________． 解析　本題規(guī)律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一個(gè)整數(shù)n所擁有數(shù)對為(n－1)對． 設(shè)1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60， ∴n＝11時(shí)還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60個(gè)數(shù)對為(5,7)． 答案　(5,7) 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n)的值是________． 解析　f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)＝＝＝，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)＝＝，由此猜想，f(n)＝(n∈N*)． 答案　(n∈N*) 三、解答題(共25分) 5．(12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，… (1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明)； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明． 解　(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1. (2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n＝6. 下證：n≥6(n∈N*)時(shí)都有2n>n2＋2n. ①n＝6時(shí)，26>62＋26，即64>48成立； ②假設(shè)n＝k(k≥6，k∈N*)時(shí)，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝22k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1時(shí)，不等式成立； 由①、②可得，對于所有的n≥6(n∈N*) 都有2n>n2＋2n成立． 6．(13分)(2012安徽)數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)． (1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0； (2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列． (1)證明　先證充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c<xn，故{xn}是遞減數(shù)列； 再證必要性，若{xn}是遞減數(shù)列，則由x2<x1可得c<0. (2)解?、偌僭O(shè){xn}是遞增數(shù)列． 由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c. 由x1<x2<x3，得0<c<1. 由xn<xn＋1＝－x＋xn＋c知，對任意n≥1都有xn<， ① 注意到 －xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)， ② 由①式和②式可得1－－xn>0，即xn<1－. 由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③ 反復(fù)運(yùn)用③式，得 －xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1， xn<1－和 －xn<(1－)n－1兩式相加，知 2－1<(1－)n－1對任意n≥1成立． 根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)n的性質(zhì)，得 2－1≤0，c≤，故0<c≤. ②若0<c≤，要證數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列， 即xn＋1－xn＝－x＋c>0，即證xn<對任意n≥1成立． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)0<c≤時(shí)，xn<對任意n≥1成立． (i)當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝0<≤，結(jié)論成立． (ii)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即xn<. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋x＋c在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk＋1＝f(xk)<f()＝，這就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 故xn<對任意n≥1成立． 因此，xn＋1＝xn－x＋c>xn，即{xn}是遞增數(shù)列． 由①②知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！