第5講 雙曲線A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F1(，0)，點P位于該雙曲線上，線段PF1的中點坐標為(0,2)，則雙曲線的方程是 () A.y21 Bx21C.1 D.1解析設(shè)雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)，由PF1的中點為(0,2)知，PF2x軸，P(，4)，即4，b24a，5a24a，a1，b2，雙曲線方程為x21.答案B2(2012·湖南)已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為 ()A.1 B.1C.1 D.1解析不妨設(shè)a>0，b>0，c.據(jù)題意，2c10，c5.雙曲線的漸近線方程為y±x，且P(2,1)在C的漸近線上，1.2 / 13由解得b25，a220，故正確選項為A.答案A3已知雙曲線x21的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為 ()A2 B C1 D0解析設(shè)點P(x，y)，其中x1.依題意得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則有x21，y23(x21)，·(1x，y)·(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，當(dāng)x1時，·取得最小值2，選A.答案A4.如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A3 B2 C. D.解析設(shè)雙曲線的方程為1，橢圓的方程為1，由于M，O，N將橢圓長軸四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)與雙曲線C2：1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F(，0)，則a_，b_.解析與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為(>0)，即1.由題意知c，則4165，則a21，b24.又a>0，b>0，故a1，b2.答案126(2012·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_解析由題意得m0，a，b.c，由e，得5，解得m2.答案2三、解答題(共25分)7(12分)中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值解(1)由已知：c，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a，b，雙曲線半實、虛軸長分別為m，n，則解得a7，m3.b6，n2.橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.8(13分)(2012·合肥聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·0；(3)求F1MF2的面積(1)解e，設(shè)雙曲線方程為x2y2.又雙曲線過(4，)點，16106，雙曲線方程為x2y26.(2)證明法一由(1)知ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2，又點(3，m)在雙曲線上，m23，kMF1·kMF21，MF1MF2，·0.法二(32，m)，(23，m)，·(32)(32)m23m2.M在雙曲線上，9m26，m23，·0.(3)解在F1MF2中，|F1F2|4，且|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|×4×6.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2013·北京西城模擬)過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F(c,0)(c>0)作圓x2y2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若2，則雙曲線的離心率為 ()A. B. C. D.解析設(shè)雙曲線的右焦點為A，則，故2，即OEAP.所以E是PF的中點，所以AP2OE2×a.所以PF3a.在RtAPF中，a2(3a)2(2c)2，即10a24c2，所以e2，即離心率為e ，選C.答案C2(2012·福建)已知雙曲線1的右焦點與拋物線y212x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 ()A. B4 C3 D5解析易求得拋物線y212x的焦點為(3,0)，故雙曲線1的右焦點為(3,0)，即c3，故324b2，b25，雙曲線的漸近線方程為y±x，雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3(2013·臨沂聯(lián)考)已知點F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為_解析由題意知，ABE為等腰三角形若ABE是銳角三角形，則只需要AEB為銳角根據(jù)對稱性，只要AEF<即可直線AB的方程為xc，代入雙曲線方程得y2，取點A，則|AF|，|EF|ac，只要|AF|<|EF|就能使AEF<，即<ac，即b2<a2ac，即c2ac2a2<0，即e2e2<0，即1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案(1,2)4(2012·湖北)如圖，雙曲線1(a，b0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則(1)雙曲線的離心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值_.解析(1)由題意可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)設(shè)sin ，cos ，e2.答案(1)(2)三、解答題(共25分)5(12分)已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且PF1PF2，|PF1|8，|PF2|6.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過雙曲線左焦點F1的直線與雙曲線的兩漸近線交于A，B兩點，且2，求此直線方程解(1)由題意知，在RtPF1F2中，|F1F2|，即2c10，所以c5.由橢圓的定義，知2a|PF1|PF2|862，即a1.所以b2c2a224，故雙曲線的方程為x21.(2)左焦點為F1(5,0)，兩漸近線方程為y±2x.由題意得過左焦點的該直線的斜率存在設(shè)過左焦點的直線方程為yk(x5)，則與兩漸近線的交點為和.由2，得2或者2，解得k±.故直線方程為y±(x5)6(13分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值解(1)由點P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意有·，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則設(shè)(x3，y3)，即又C為雙曲線上一點，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化為240，解得0或4.特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！