第5講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3則 (　　)． A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b 解析　∵log30.3＝5log3，1<log23.4<2,0<log43.6<1,1<log3<2，又log23.4>log2>log3，∴l(xiāng)og23.4>log3>log43.6，∴5log23.4>5log3>5log43.6，故選C. 答案　C 2．(2013·徐州模擬)若函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a的取值范圍是(　　)． A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1 C．1<a<2 D．a(chǎn)≥2 解析　因為y＝x2－ax＋1是開口向上的二次函數(shù)，從而有最小值，故要使函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a>1，且>0，得1<a<2，故選C. 答案　C 3．(2013·九江質檢)若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b) 的大致圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的大致圖象是 (　　)． 1 / 9 解析　由已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象可得0<a<1，0<b<1.則g(x)＝ax＋b的圖象由y＝ax的圖象沿y軸向上平移b個單位而得到，故選B. 答案　B 4．若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)滿足對任意的x1，x2，當x1<x2≤時，f(x1)－f(x2)>0，則實數(shù)a的取值范圍為 (　　)． A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3) C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2) 解析　“對任意的x1，x2，當x1<x2≤時，f(x1)－f(x2)>0”實質上就是“函數(shù)單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“f(x)有意義”．事實上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤時遞減，從而由此得a的取值范圍為(1,2)．故選D. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．函數(shù)y＝log(3x－a)的定義域是，則a＝________. 解析　由3x－a>0得x>.因此，函數(shù)y＝log(3x－a)的定義域是，所以＝，a＝2. 答案　2 6．對任意非零實數(shù)a，b，若a?b的運算原理如圖所示，則(log8)?－2＝________. 解析　框圖的實質是分段函數(shù)，log8＝－3，－2＝9，由框圖可以看出輸出＝－3. 答案　－3. 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x. (1)判斷函數(shù)的奇偶性； (2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定義域為R. 又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x ＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． (2)函數(shù)f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)， 由指數(shù)函數(shù)的單調性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2. 所以a的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)． 8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2. (1)求f＋f的值； (2)當x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2 ＝log21＝0.∴f＋f＝0. (2)f(x)的定義域為(－1,1)， ∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)， 當x1<x2且x1，x2∈(－1,1)時，f(x)為減函數(shù)， ∴當a∈(0,1)，x∈(－a，a]時f(x)單調遞減， ∴當x＝a時，f(x)min＝－a＋log2. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．函數(shù)f(x)＝lg(ax＋4a－x－m)(a>0且a≠1)的定義域為R，則m的取值范圍為 (　　)． A．(0,4] B．(－∞，4) C．(－∞，4] D．(1,4] 解析　由于函數(shù)f(x)的定義域是R，所以ax＋－m>0恒成立，即m<ax＋恒成立，由基本不等式知只需m≤4. 答案　C 2．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是 (　　)． A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　作出函數(shù)f(x)＝|lg x|的圖象，由f(a)＝f(b)，0<a<b知0<a<1<b，－lg a＝lg b，∴ab＝1，∴a＋2b＝a＋，由函數(shù)y＝x＋的單調性可知，當0<x<1時，函數(shù)單調遞減，∴a＋2b＝a＋>3.故選C. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，則a＋b＋c＝________. 解析　由圖象可求得a＝2，b＝2，又易知函數(shù)y＝logc的圖象過點(0,2)，進而可求得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝. 答案　 4．對于任意實數(shù)x，符號[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過x的最大整數(shù)．在實數(shù)軸R(箭頭向右)上[x]是在點x左側的第一個整數(shù)點，當x是整數(shù)時[x]就是x.這個函數(shù)[x]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________. 解析　當1≤n≤2時，[log3n]＝0，當3≤n<32時，[log3n]＝1，…，當3k≤n<3k＋1時，[log3n]＝k. 故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857. 答案　857 三、解答題(共25分) 5．(12分)若函數(shù)f(x)滿足對于(0，＋∞)上的任意實數(shù)x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且x>1時f(x)>0，試證： (1)f＝f(x)－f(y)； (2)f(x)＝－f； (3)f(x)在(0，＋∞)上遞增． 證明　(1)由已知f＋f(y)＝f(x)， 即f(x)－f(y)＝f. (2)令x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝2f(1)．因此f(1)＝0. ∴f(x)＋f＝f(1)＝0，即f(x)＝－f. (3)設0<x1<x2，則>1，由已知f>0，即f(x2)－f(x1)>0.因此f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞增． 6．(13分)已知函數(shù)f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)． (1)求函數(shù)的定義域，并證明：f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)； (2)對于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范圍． 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)， ∴f(x)＝loga在定義域上是奇函數(shù)． (2)由x∈[2,4]時，f(x)＝loga>loga恒成立， ①當a>1時， ∴>>0對x∈[2,4]恒成立． ∴0<m<(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立． 設g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4] 則g(x)＝－x3＋7x2＋x－7， g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋， ∴當x∈[2,4]時，g′(x)>0. ∴y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，g(x)min＝g(2)＝15. ∴0<m<15. ②當0<a<1時， 由x∈[2,4]時， f(x)＝loga>loga恒成立， ∴<對x∈[2,4]恒成立． ∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立． 設g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]， 由①可知y＝g(x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)， g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45. ∴m的取值范圍是(0,15)∪(45，＋∞). 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！