第4講 橢 圓A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2| () A. B. C. D4解析a24，b21，所以a2，b1，c，不妨設(shè)F1為左焦點(diǎn)，P在x軸上方，則F1(，0)，設(shè)P(，m)(m>0)，則m21，解得m，所以|PF1|，根據(jù)橢圓定義：|PF1|PF2|2a，所以|PF2|2a|PF1|22.答案A2(2012江西)橢圓1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 ()A. B. C. D.2解析因?yàn)锳，B為左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因?yàn)閨AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2.1 / 16所以離心率e，故選B.答案B3(2013嘉興測(cè)試)已知橢圓x2my21的離心率e，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A. B.C. D.解析橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.當(dāng)m>1時(shí)，e21，解得m>；當(dāng)0<m<1時(shí)，e21m，解得0<m<，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案C4(2012溫州測(cè)試)已知橢圓1(a>b>0)的中心為O，左焦點(diǎn)為F，A是橢圓上的一點(diǎn).0且2，則該橢圓的離心率是() A. B.C3 D3解析因?yàn)?，且()，所以2，所以|c，所以|c，且AOF45，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)是F，在AOF中，由余弦定理可得AF c，由橢圓定義可得AFAF c c2a，即(1)c2a，故離心率e.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5(2013青島模擬)設(shè)橢圓1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為_(kāi)解析拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，m2n24，e，m4，代入得，n212，橢圓方程為1.答案16(2013佛山模擬)在等差數(shù)列an中，a2a311，a2a3a421，則橢圓C：1的離心率為_(kāi)解析由題意，得a410，設(shè)公差為d，則a3a2(10d)(102d)203d11，d3，a5a4d13，a6a42d16>a5，e.答案三、解答題(共25分)7(12分)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，0，若橢圓的離心率等于.(1)求直線AO的方程(O為坐標(biāo)原點(diǎn))；(2)直線AO交橢圓于點(diǎn)B，若三角形ABF2的面積等于4，求橢圓的方程解(1)由0，知AF2F1F2，橢圓的離心率等于，ca，可得b2a2.設(shè)橢圓方程為x22y2a2.設(shè)A(x0，y0)，由0，知x0c，A(c，y0)，代入橢圓方程可得y0a，A，故直線AO的斜率k，直線AO的方程為yx.(2)連接AF1，BF1，AF2，BF2，由橢圓的對(duì)稱性可知，SABF2SABF1SAF1F2，2ca4.又由ca，解得a216，b21688.故橢圓方程為1.8(13分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2.(1)求橢圓C的焦距；(2)如果2，求橢圓C的方程解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c2，故c2.所以橢圓C的焦距為4.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2及l(fā)的傾斜角為60，知y1<0，y2>0，直線l的方程為y(x2)由消去x，整理得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因?yàn)?，所以y12y2，即2，解得a3.而a2b24，所以b25.故橢圓C的方程為1.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1. (2013廈門質(zhì)檢)已知F是橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓2y2相切于點(diǎn)Q，且2Q，則橢圓C的離心率等于() A. B. C. D.解析記橢圓的左焦點(diǎn)為F，圓2y2的圓心為E，連接PF，QE.|EF|OF|OE|c，2Q，PFQE，且PFPF.又|QE|(圓的半徑長(zhǎng))，|PF|b.據(jù)橢圓的定義知：|PF|PF|2a，|PF|2ab.PFPF，|PF|2|PF|2|FF|2，b2(2ab)2(2c)2，2(a2c2)b22ab，3b22ab，b，ca，橢圓的離心率為.答案A2(2012山東)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.雙曲線的漸近線方程為yx，代入橢圓方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，yb，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4bbb216，所以b25，所以橢圓方程為1.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3(2012泰安一模)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，且滿足MAB30，則該雙曲線的離心率為_(kāi)解析如圖，以F1F2為直徑的圓為x2y2c2，雙曲線的漸近線為yx.由得M(a，b)，MAB為直角三角形在RtMAB中，tan 30.e .答案4.如圖，OFB，ABF的面積為2，則以O(shè)A為長(zhǎng)半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)解析設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由題可知，|OF|c，|OB|b，|BF|a，OFB，a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2，b22，b，a2，橢圓的方程為1.答案1三、解答題(共25分)5(12分)(2012南京二模) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy20相切(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2)設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T在橢圓C上(1)解由題意知，b.因?yàn)殡x心率e，所以 .所以a2.所以橢圓C的方程為1.(2)證明由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1，直線QN的方程為yx2.法一聯(lián)立解得x，y，即T.由1，可得x84y.因?yàn)?21，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上法二設(shè)T(x，y)，聯(lián)立解得x0，y0.因?yàn)?，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上6(13分)(2012重慶) 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且AB1B2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2QB2，求直線l的方程解(1) 如圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2為直角，因此|OA|OB2|，得b.結(jié)合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由題設(shè)條件SAB1B24得b24，從而a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！