第5講 數(shù)列的綜合應(yīng)用A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1已知an為等比數(shù)列下面結(jié)論中正確的是 ()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，則a1a2 D若a3>a1，則a4>a2解析設(shè)公比為q，對于選項A，當(dāng)a1<0，q1時不正確；選項C，當(dāng)q1時不正確；選項D，當(dāng)a11，q2時不正確；選項B正確，因為aa2a1a32a.答案B2滿足a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前n項和為Sn，則滿足Sn>1 025的最小n值是 ()A9 B10 C11 D12解析因為a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，則滿足Sn>1 025的最小n值是11.答案C3(2013·威海期中)某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是 ()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的產(chǎn)量anf(n)f(n1)3n2.當(dāng)n1時也適合，據(jù)題意令2 / 13an150n5，即數(shù)列從第8項開始超過150，即這條生產(chǎn)線最多生產(chǎn)7年答案C4(2013·福州模擬)在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n ()A7 B8 C9 D10解析設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，則n9，當(dāng)n9時，an>0，同理可得n10時，an<0.故當(dāng)n9時，Sn取得最大值答案C二、填空題(每小題5分，共10分)5(2012·安慶模擬)設(shè)關(guān)于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列an的前n項和為Sn，則S100的值為_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 100.答案10 1006(2013·南通模擬)已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則_.解析賦值法如令a，b，c分別為2,4,8，可求出x3，y6，2.答案2三、解答題(共25分)7(12分)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S535，a5和a7的等差中項為13.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為S55a335，a5a726，所以解得a13，d2，所以an32(n1)2n1，Sn3n×2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn1.8(13分)(2012·廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.(1)解當(dāng)n1時，2a1a241a23，當(dāng)n2時，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差數(shù)列，所以a1a32(a25)，由解得a11.(2)解2Snan12n11，當(dāng)n2時，有2Sn1an2n1，兩式相減整理得an13an2n，則·1，即2.又23，知是首項為3，公比為的等比數(shù)列，23n1，即an3n2n，n1時也適合此式，an3n2n.(3)證明由(2)得.當(dāng)n2時，n>2，即3n2n>2n，<123n1<.B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2012·濟(jì)南質(zhì)檢)設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)f(4)f(2n)等于 ()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析由題意可設(shè)f(x)kx1(k0)，則(4k1)2(k1)×(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(2×21)(2×41)(2×2n1)2n23n.答案A2(2012·四川)設(shè)函數(shù)f(x)2xcos x，an是公差為的等差數(shù)列，f(a1)f(a2)f(a5)5，則f(a3)2a1a5 ()A0 B.2 C.2 D.2解析設(shè)g(x)2xsin x，由已知等式得ggg0，則必有a30，即a3(否則若a30，則有20，注意到g(x)是遞增的奇函數(shù)，g0，ggg，gg0，同理gg0，ggg0，這與“ggg0”相矛盾，因此a30不可能；同理a30也不可能)；又an是公差為的等差數(shù)列，a12×，a1，a5，f(a3)fcos，f(a3)2a1a52，選D.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，令anlg xn，則a1a2a3a99的值為_解析由y(n1)xn(xN*)，所以在點(1,1)處的切線斜率kn1，故切線方程為y(n1)(x1)1，令y0得xn，所以a1a2a3a99lg x1lg x2lg x99lg(x1·x2··x99)lg×××lg 2.答案24(2012·沈陽四校聯(lián)考)數(shù)列an的前n項和為Sn，若數(shù)列an的各項按如下規(guī)律排列：，有如下運算和結(jié)論：a24；數(shù)列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比數(shù)列；數(shù)列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n項和為Tn；若存在正整數(shù)k，使Sk<10，Sk110，則ak.其中正確的結(jié)論有_(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)解析依題意，將數(shù)列an中的項依次按分母相同的項分成一組，第n組中的數(shù)的規(guī)律是：第n組中的數(shù)共有n個，并且每個數(shù)的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n組中的各數(shù)和等于.對于，注意到21<24<28，因此數(shù)列an中的第24項應(yīng)是第7組中的第3個數(shù)，即a24，因此正確對于、，設(shè)bn為、中的數(shù)列的通項，則bn，顯然該數(shù)列是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，其前n項和等于×，因此不正確，正確對于，注意到數(shù)列的前6組的所有項的和等于10，因此滿足條件的ak應(yīng)是第6組中的第5個數(shù)，即ak，因此正確綜上所述，其中正確的結(jié)論有.答案三、解答題(共25分)5(12分)已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前四項和為14，且a1，a3，a7恰為等比數(shù)列bn的前三項(1)分別求數(shù)列an，bn的前n項和Sn，Tn；(2)記數(shù)列anbn的前n項和為Kn，設(shè)cn，求證：cn1>cn(nN*)(1)解設(shè)公差為d，則解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34，即b24.所以數(shù)列bn的首項為b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)證明因為Kn2·213·22(n1)·2n，故2Kn2·223·23n·2n(n1)·2n1，得Kn2·2122232n(n1)·2n1，Knn·2n1，則cn.cn1cn>0，所以cn1>cn(nN*)6(13分)(2012·重慶)設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn1a2Sna1，其中a20.(1)求證：an是首項為1的等比數(shù)列；(2)若a21，求證：Sn(a1an)，并給出等號成立的充要條件證明(1)由S2a2S1a1，得a1a2a2a1a1，即a2a2a1.因a20，故a11，得a2，又由題設(shè)條件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1，兩式相減得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2.綜上，a2對所有nN*成立從而an是首項為1，公比為a2的等比數(shù)列(2)當(dāng)n1或2時，顯然Sn(a1an)，等號成立設(shè)n3，a21且a20，由(1)知，a11，ana，所以要證的不等式化為：1a2aa(1a)(n3)，即證：1a2aa(1a)(n2)，當(dāng)a21時，上面不等式的等號成立當(dāng)1a21時，a1與a1，(r1,2，n1)同為負(fù)；當(dāng)a21時，a1與a1，(r1,2，n1)同為正；因此當(dāng)a21且a21時，總有(a1)(a1)0，即aa1a，(r1,2，n1)上面不等式對r從1到n1求和得2(a2aa)(n1)(1a)由此得1a2aa(1a)綜上，當(dāng)a21且a20時，有Sn(a1an)，當(dāng)且僅當(dāng)n1,2或a21時等號成立.特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！