第八節(jié)曲線與方程【考綱下載】了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系1曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線曲線可以看作是符合某條件的點(diǎn)的集合，也可看作是適合某種條件的點(diǎn)的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題2求曲線方程的基本步驟1若曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系中只滿足(2)會(huì)怎樣？提示：若只滿足“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”，則以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合形成的曲線可能是已知曲線的一部分，也可能是整條曲線2動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡有什么區(qū)別？提示：“求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程”和“求動(dòng)點(diǎn)的軌跡”是不同的，前者只需求出軌跡的方程，標(biāo)出變量x，y的范圍；后者除求出方程外，還應(yīng)指出方程表示的曲線的圖形，并說明圖形的形狀、位置、大小等有關(guān)數(shù)據(jù)1已知命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程f(x，y)0的解”是正確的，則下列命題中正確的是()A滿足方程f(x，y)0的點(diǎn)都在曲線C上B方程f(x，y)0是曲線C的方程C方程f(x，y)0所表示的曲線不一定是曲線CD以上說法都正確解析：選C因?yàn)榍€C可能只是方程f(x，y)0所表示的曲線上的某一小段，因此只有C正確2已知曲線C的方程為x2xyy50，則下列各點(diǎn)中，在曲線C上的點(diǎn)是()A(1,2) B(1，2)1 / 3C(2，3) D(3,6)解析：選A將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)一一代入曲線C的方程，只有A選項(xiàng)成立，因此(1,2)在曲線C上3函數(shù)y的圖象是()A拋物線 B圓的一部分C拋物線的一部分 D以上都不是解析：選C函數(shù)y的定義域是x0，值域是y0，則y，即y24x(x0)，所以函數(shù)y的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右的拋物線位于x軸上方的部分4已知M(2,0)，N(2,0)，|PM|PN|4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線左支C一條射線 D雙曲線右支解析：選C根據(jù)雙曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡類似雙曲線，但不滿足2c>2a>0的條件，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線5設(shè)定點(diǎn)F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|PF2|a(a>0)，則點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓 B線段 C不存在 D橢圓或線段解析：選D當(dāng)a3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段，當(dāng)a3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓 方法博覽(七)利用參數(shù)法求軌跡方程在求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易求得，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)或兩個(gè)變量(如斜率、比值、截距或坐標(biāo)等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨另外變量的變化而變化，我們稱這些變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法典例(2013·福建高考)如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10)分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，A9和B1，B2，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(iN*,1i9)(1)求證：點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；(2)過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若OCM與OCN的面積比為41，求直線l的方程解題指導(dǎo)(1)設(shè)Ai的坐標(biāo)為(i,0)，則Bi的坐標(biāo)為(10，i)，可用i表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，得出P的參數(shù)方程(2)設(shè)直線l的斜率為k，將直線l的方程與拋物線的方程聯(lián)立，尋找M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由面積之比即可求出k的值解(1)法一：依題意，過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi，Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x，y)，由得yx2，即x210y.所以點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.法二：點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在拋物線E：x210y上證明如下：過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為xi， Bi的坐標(biāo)為(10，i)，所以直線OBi的方程為yx.由解得Pi的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x210y，所以點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x210y.(2)依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx10.由得x210kx1000，此時(shí)100k2400>0，直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則因?yàn)镾OCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x2<0，所以x14x2，分別代入和，得解得k±.所以直線l的方程為y±x10，即3x2y200或3x2y200.點(diǎn)評(píng)參數(shù)法求軌跡方程的步驟：(1)選取參數(shù)k，用k表示動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)得出動(dòng)點(diǎn)M的參數(shù)方程為(3)消去參數(shù)k，得M的軌跡方程；(4)由k的范圍確定x、y的范圍. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！