第8講 函數(shù)與方程A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1函數(shù)f(x)sin xx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ()A0 B1 C2 D3解析f(x)cos x10，f(x)單調(diào)遞減，又f(0)0，則f(x)sin xx的零點(diǎn)是唯一的答案B2(2013·泰州模擬)設(shè)f(x)exx4，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間 ()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析f(x)exx4，f(x)ex1>0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增對(duì)于A項(xiàng)，f(1)e1(1)45e1<0，f(0)3<0，f(1)f(0)>0，A不正確，同理可驗(yàn)證B、D不正確對(duì)于C項(xiàng)，f(1)e14e3<0，f(2)e224e22>0，f(1)f(2)<0，故選C.答案C3(2013·石家莊期末)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析由條件可知f(1)f(2)<0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解之得0<a<3.2 / 9答案C4(2011·山東)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x<2時(shí)，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A6 B7 C8 D9 解析當(dāng)0x<2時(shí)，令f(x)x3x0，得x0或x1.根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，由f(x)的最小正周期為2，可知yf(x)在0,6)上有6個(gè)零點(diǎn)，又f(6)f(3×2)f(0)0，f(x)在0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)5已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa，若函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析設(shè)n為自然數(shù)，則當(dāng)n<xn1時(shí)，f(x)(xn1)2，則當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象是以1為周期重復(fù)出現(xiàn)而函數(shù)yxa是一族平行直線，當(dāng)它過點(diǎn)(0,1)(此時(shí)a1)時(shí)與函數(shù)f(x)的圖象交于一點(diǎn)，向左移總是一個(gè)交點(diǎn)，向右移總是兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<1.答案(，1)6函數(shù)f(x)則函數(shù)yff(x)1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為_解析本題即求方程ff(x)1的所有根的集合，先解方程f(t)1，即或得t2或t.再解方程f(x)2和f(x).即或和或得x3或x和x或x.答案三、解答題(共25分)7(12分)設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0<a<b，且f(a)f(b)時(shí)，求的值；(3)若方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍解(1)如圖所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是減函數(shù)，而在(1，)上是增函數(shù)，由0<a<b且f(a)f(b)，得0<a<1<b，且11，2.(3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，方程f(x)m有兩個(gè)不相等的正根8(13分)已知函數(shù)f(x)x32x2ax1.(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為4，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由題意得g(x)f(x)3x24xa.(1)f(1)34a4，a3.(2)法一當(dāng)g(1)a10，a1時(shí)，g(x)f(x)的零點(diǎn)x(1,1)；當(dāng)g(1)7a0，a7時(shí)，f(x)的零點(diǎn)x(1,1)，不合題意；當(dāng)g(1)g(1)<0時(shí)，1<a<7；當(dāng)時(shí)，a<1.綜上所述，a.法二g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于3x24xa在區(qū)間(1,1)上有解，也等價(jià)于直線ya與曲線y3x24x在(1,1)有公共點(diǎn)作圖可得a.或者又等價(jià)于當(dāng)x(1,1)時(shí)，求值域a3x24x32.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1(2011·陜西)函數(shù)f(x)cos x在0，)內(nèi) ()A沒有零點(diǎn) B有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D有無窮多個(gè)零點(diǎn)解析令f(x)0，得cos x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)y與ycos x的圖象如圖所示，由圖象知，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，從而方程cos x只有一個(gè)解函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)答案B2(2012·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x3.又函數(shù)g(x)|xcos(x)|，則函數(shù)h(x)g(x)f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A5 B6 C7 D8解析由題意知函數(shù)yf(x)是周期為2的偶函數(shù)且0x1時(shí)，f(x)x3，則當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)當(dāng)x0時(shí)，若0<x，則x3xcos(x)，即x2|cos x|.同理可以得到在區(qū)間，上的關(guān)系式都是上式，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出所得關(guān)系式等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，如圖所示，有5個(gè)根所以總共有6個(gè)答案B二、填空題(每小題5分，共10分)3已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x2.若在區(qū)間1,3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)kxk有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_解析依題意得f(x2)f(x1)f(x)，即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)g(x)f(x)kxk在區(qū)間1,3內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)與yk(x1)的圖象在區(qū)間1,3內(nèi)有4個(gè)不同的交點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)的圖象(如圖所示)，注意到直線yk(x1)恒過點(diǎn)(1,0)，由題及圖象可知，當(dāng)k時(shí)，相應(yīng)的直線與函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,3內(nèi)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.答案4若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(P、Q)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(P、Q)與點(diǎn)對(duì)(Q，P)看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”)已知函數(shù)f(x)則f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)是_解析設(shè)P(x，y)、Q(x，y)(x>0)為函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”，則y，y2(x)24(x)12x24x1，2x24x10，在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1、y22x24x1的圖象，y1、y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)有2個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”，故填2.答案2三、解答題(共25分)5(12分)設(shè)函數(shù)f(x)3ax22(ac)xc (a>0，a，cR)(1)設(shè)a>c>0.若f(x)>c22ca對(duì)x1，)恒成立，求c的取值范圍；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)？為什么？解(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)3ax22(ac)xc的圖象的對(duì)稱軸為x，由條件a>c>0，得2a>ac，故<<1，即二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸在區(qū)間1，)的左邊，且拋物線開口向上，故f(x)在1，)內(nèi)是增函數(shù)若f(x)>c22ca對(duì)x1，)恒成立，則f(x)minf(1)>c22ca，即ac>c22ca，得c2c<0，所以0<c<1.(2)若f(0)·f(1)c·(ac)<0，則c<0，或a<c，二次函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)若f(0)c>0，f(1)ac>0，則a>c>0.因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)3ax22(ac)xc的圖象的對(duì)稱軸是x.而f<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)6(13分)已知二次函數(shù)f(x)x216xq3.(1)若函數(shù)在區(qū)間1,1上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)t(t0)，當(dāng)xt,10時(shí)，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長(zhǎng)度為12t(視區(qū)間a，b的長(zhǎng)度為ba)解(1)函數(shù)f(x)x216xq3的對(duì)稱軸是x8，f(x)在區(qū)間1,1上是減函數(shù)函數(shù)在區(qū)間1,1上存在零點(diǎn)，則必有即20q12.(2)0t<10，f(x)在區(qū)間0,8上是減函數(shù)，在區(qū)間8,10上是增函數(shù)，且對(duì)稱軸是x8.當(dāng)0t6時(shí)，在區(qū)間t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即t215t520，解得t，t；當(dāng)6<t8時(shí)，在區(qū)間t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t，解得t8；當(dāng)8<t<10時(shí)，在區(qū)間t,10上，f(10)最大，f(t)最小，f(10)f(t)12t，即t217t720，解得t8,9，t9.綜上可知，存在常數(shù)t，8,9滿足條件.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容. 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