第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題【考綱下載】1掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法2了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用3理解數(shù)形結(jié)合的思想1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程AxByC0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)當a0時，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則>0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；<0直線與圓錐曲線C相離(2)當a0，b0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合2圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)， B(x2，y2)，則|AB|x1x2| |y1y2| .直線與圓錐曲線只有一個公共點時，是否是直線與圓錐曲線相切？提示：直線與圓錐曲線只有一個公共點時，未必一定相切，還有其他情況，如拋物線與平行或重合于其對稱軸的直線，雙曲線與平行于其漸近線的直線，它們都只有一個公共點，但不是相切，而是相交1已知直線xy10與拋物線yax2相切，則a等于()A. B. C. D4解析：選C由消去y得ax2x10，所以解得a.2直線yx3與雙曲線1的交點個數(shù)是()A1 B2 C1或2 D01 / 7解析：選A因為直線yx3與雙曲線的漸近線yx平行，所以它與雙曲線只有1個交點3設(shè)拋物線x24y的焦點為F，經(jīng)過點P(1,5)的直線l與拋物線相交于A，B兩點，且點P恰為線段AB的中點，則|AF|BF|_.解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y210，由拋物線定義得|AF|BF|y1y2p10212.答案：124直線ykx1與橢圓1恒有公共點，則m的取值范圍是_解析：直線ykx1過定點(0,1)，由題意，點(0,1)在橢圓內(nèi)或橢圓上則m1，且m5.答案：m1且m55過橢圓1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為_解析：由c1，知橢圓右焦點為(1,0)，則直線方程為y2(x1)，聯(lián)立方程得解得x10，x2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y12，y2.S1|y1y2|1.答案： 壓軸大題巧突破(二)直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用典例(2013湖北高考) (13分)如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為 2m,2n(mn) ，過原點且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.記，BDM和ABN的面積分別為S1和S2.(1)當直線l與y軸重合時，若S1S2，求的值；(2)當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2？并說明理由化整為零破難題(1)基礎(chǔ)問題1：橢圓C1、C2的標準方程各是什么？C1：1，C2：1，其中a>m>n>0.基礎(chǔ)問題2：直線l與y軸重合時S1，S2各等于什么？S1|BD|OM|a|BD|，S2|AB|ON|a|AB|.基礎(chǔ)問題3：|BD|，|AB|各等于何值？|BD|mn，|AB|mn.(2)基礎(chǔ)問題1：設(shè)直線l為ykx，則M、N到直線l的距離各是多少？M到l的距離d1，N到l的距離d2.基礎(chǔ)問題2：S1、S2各等于什么？等于什么？S1|BD|d1，S2|AB|d2， .基礎(chǔ)問題3：與xA、xB有何關(guān)系？.基礎(chǔ)問題4：如何用xA、xB、a、m、來表示k2?A(xA，kxA)、B(xB，kxB)分別在C1、C2上，所以1，1，0，依題意得xA>xB>0，所以x>x，所以k2.基礎(chǔ)問題5：如何求的取值？由k2>0，得>0，解得1<<，由，即1<<，得>1.規(guī)范解答不失分依題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為C1：1，C2：1.其中amn0，1. 1分(1)如圖1，若直線l與y軸重合，則|BD|OB|OD|mn，|AB|OA|OB|mn；S1|BD|OM|a|BD|，S2|AB|ON|a|AB|.所以， 3分若，則，化簡得2210，由1，可解得1.故當直線l與y軸重合時，若S1S2，則1.5分(2)法一：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線l：ykx(k0)，()點M(a,0)，N(a,0)到直線l的距離分別為d1，d2，則因為d1，d2，所以d1d2. 6分又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以，即|BD|AB|.由對稱性可知|AB|CD|，()所以|BC|BD|AB|(1)|AB|，|AD|BD|AB|(1)|AB|，于是. 7分將l的方程分別與C1，C2的方程聯(lián)立，可求得xA，xB.根據(jù)對稱性可知xCxB，xDxA，于是() . 9分從而由和式可得. 10分令t，()由(1)可知當1，即t1時，直線l與y軸重合，不符合題意，故t1.于是由可解得k2.因為k0，所以k20，于是式關(guān)于k有解，當且僅當0，等價于(t21)0，由1，可解得t1，即1，由1，解得1， 12分所以當11時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2；當1時，存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2.13分法二：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線l：ykx(k0)，()點M(a,0)，N(a,0)到直線l的距離分別為d1，d2，則因為d1，d2，所以d1d2. 6分又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以.因為，所以. 8分由點A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分別在C1，C2上，可得1，1，兩式相減可得0，依題意xAxB0，()所以xx.所以由上式解得k2. 10分因為k20，所以由0，可解得1.從而1，解得1，所以當11時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2；當1時，存在與坐標軸不重合的直線l，使得S1S2. 13分易錯警示要牢記易錯點一()處沒有注意對稱性，kR，使后面求解受阻易錯點二()處不注意對稱性，則|AD|與|BC|的比值不易求出，從而思路受阻易錯點三()處不注意對稱性，則變量xA、xB、xC、xD較多運算較大，也易出錯易錯點四()處如果不換元，則運算量較大，易出現(xiàn)錯誤易錯點五()處如果不注意xA>xB，則對的范圍的限制條件發(fā)生變化，從而造成結(jié)果出錯 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！