第6講 拋物線A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2011遼寧)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ()A. B1 C. D.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，知|AF|BF|x1x23，p，x1x2，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.答案C2(2013東北三校聯(lián)考)若拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則p的值為 ()A2 B18 C2或18 D4或16解析設(shè)P(x0，y0)，則362p，即p220p360，解得p2或18.答案C3(2011全國)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線y2x4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cosAFB()A. B. C D解析由得x25x40，x1或x4.不妨設(shè)A(4,4)，B(1，2)，則|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosAFB.故選D.答案D4(2012山東)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的離心率為2，2，即4，.x22py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，1的漸近線方程為yx，即yx.由題意，得2，p8.故C2：x216y，選D.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5(2013鄭州模擬)設(shè)斜率為1的直線l過拋物線y2ax(a>0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為8，則a的值為_解析依題意，有F，直線l為yx，所以A，OAF的面積為8.解得a16，依題意，只能取a16.答案166(2012陜西)如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py.由題意A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.設(shè)B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面寬為2米答案2三、解答題(共25分)7(12分)已知拋物線C：y22px(p0)過點(diǎn)A(1，2)(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解(1)將(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y2xt，由得y22y2t0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以48t0，解得t.另一方面，由直線OA與l的距離d，可得，解得t1.因?yàn)?，1，所以符合題意的直線l存在，其方程為2xy10.8(13分)(2012溫州十校聯(lián)考)已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線yx2相切(1)求a與b；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l1過F2且與x軸垂直，動(dòng)直線l2與y軸垂直，l2交l1于點(diǎn)P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型解(1)由e ，得.又由原點(diǎn)到直線yx2的距離等于橢圓短半軸的長，得b，則a.(2)法一由c1，得F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)M(x，y)，則P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的M的軌跡方程為y24x，該曲線為拋物線法二因?yàn)辄c(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離此軌跡是以F1(1,0)為焦點(diǎn)，l1：x1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y24x.B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則| ()A9 B6 C4 D3解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于拋物線y24x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，由0，可得x1x2x33，又由拋物線的定義可得|x1x2x336.答案B2(2013洛陽統(tǒng)考)已知P是拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為，所以d|PF|1的最小值為1.答案D二、填空題(每小題5分，共10分)3(2012北京)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方若直線l的傾斜角為60，則OAF的面積為_解析直線l的方程為y(x1)，即xy1，代入拋物線方程得y2y40，解得yA2(yB<0，舍去)，故OAF的面積為12.答案4(2012重慶)過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.解析設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線為yk，聯(lián)立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|<|BF|，故|AF|x1.答案三、解答題(共25分)5(12分)已知拋物線C：y24x，過點(diǎn)A(1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè).(1)若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F；(2)若，求|PQ|的最大值思維啟迪：(1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和的關(guān)系，然后求最值(1)證明設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21)，x2(1)1，1，x2，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F.(2)由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y2>0，y1y24，則|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216，當(dāng)，即時(shí)，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為.探究提高圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值6(13分)(2012新課標(biāo)全國)設(shè)拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)(1)若BFD90，ABD的面積為4 ，求p的值及圓F的方程；(2)若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值解(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|2p，圓F的半徑|FA|p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA| p.因?yàn)锳BD的面積為4 ，所以|BD|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2(y1)28.(2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|AB|.所以ABD30，m的斜率為或.當(dāng)m的斜率為時(shí)，由已知可設(shè)n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故p28pb0，解得b.因?yàn)閙的縱截距b1，3，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)光盤中內(nèi)容. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！