74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關系導學目標： 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定自主梳理1圓周角、弦切角及圓心角定理(1)_的度數(shù)等于其的對_的度數(shù)的一半推論1：_(或_)所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角_相等推論2：半圓(或直徑)所對的_等于90.反之，90的圓周角所對的弧是_(或_)(2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的_(3)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)2圓中比例線段有關定理(1)相交弦定理：_的兩條_，每條弦被交點分成的_的積相等(2)切割線定理：從圓外一點引圓的一條割線和一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段長的_(3)割線定理：從圓外一點引圓的兩條_，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等溫馨提示相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關的線段間的比例關系，在與圓有關的比例線段問題的證明、計算以及證明線段或角相等等問題中應用甚廣3切線長定理從_一點引圓的兩條切線，_相等4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角_推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)角的_(2)判定定理：如果四邊形的_，則四邊形內(nèi)接于_推論：如果四邊形的一個外角等于它的_，那么這個四邊形的四個頂點_5圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的_推論1：經(jīng)過_且_與垂直的直線必經(jīng)過切點推論2：經(jīng)過_且切線與垂直的直線必經(jīng)過_(2)判定定理：過半徑_且與這條半徑_的直線是圓的切線自我檢測1如圖在RtABC中，B90，D是AB上一點，且AD2DB，以D為圓心，DB為半徑的圓與AC相切，則sin A_.2(2010南京模擬)如圖，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，ADEF于D，AD2，AB6，則AC長為_3(2011湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC4，ADBC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為_4如圖所示，AB是O的直徑，BC是O的切線，AC交O于點D，若AD32，CD18，則AB_.5(2010揭陽模擬)如圖，已知P是O外一點，PD為O的切線，D為切點，割線PEF經(jīng)過圓心O，PF12，PD4，則圓O的半徑長為_、EFD的度數(shù)為_.探究點一與圓有關的等角、等弧、等弦的判定例1 如圖，O的兩條弦AC，BD互相垂直，OEAB，垂足為點E.求證：OECD.變式遷移1 在ABC中，已知CM是ACB的平分線，AMC的外接圓O交BC于點N；若ACAB，求證：BN3MN.探究點二四點共圓的判定例2 如圖，四邊形ABCD中，AB、DC的延長線交于點E，AD，BC的延長線交于點F，AED，AFB的角平分線交于點M，且EMFM.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓變式遷移2 如圖，已知AP是O的切線，P為切點，AC是O的割線，與O交于B、C兩點，圓心O在PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點(1)證明：A，P，O，M四點共圓；(2)求OAMAPM的大小探究點三與圓有關的比例線段的證明例3 如圖，PA切O于點A，割線PBC交O于點B，C，APC的角平分線分別與AB，AC相交于點D，E，求證：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.變式遷移3 (2010全國)如圖，已知圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.1圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時有較普遍的應用，尤其是利用定理進行等角代換與傳遞2要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結直線與圓的公共點和圓心證垂直；遇到直徑時，一般要引直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角解決有關問題3判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明4證明多點共圓的常用方法：(1)證明幾個點與某個定點距離相等；(2)如果某兩點在某條線段的同旁，證明這兩點對這條線段的張角相等；(3)證明凸四邊形內(nèi)對角互補(或外角等于它的內(nèi)角的對角)5圓中比例線段有關定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比(滿分：75分)一、填空題(每小題5分，共40分)1如圖，已知AB，CD是O的兩條弦，且ABCD，OEAB，OFCD，垂足分別是E，F(xiàn)，則結論，AOBCOD，OEOF，中，正確的有_個2(2010湖南)如圖所示，過O外一點P作一條直線與O交于A、B兩點已知PA2，點P到O的切線長PT4，則弦AB的長為_3(2010陜西)如圖，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm,4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則_.4(2009廣東)如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB4，ACB45，則圓O的面積為_5已知PA是圓O的切線，切點為A，PA2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB1，則圓O的半徑R_.6如圖，圓O是ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD2，AB3.則BD的長為_7(2011天津)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DFCF，AFFBBE421.若CE與圓相切，則線段CE的長為_8(2010天津)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P.若，則的值為_二、解答題(共35分)9(11分)如圖，三角形ABC中，ABAC，O經(jīng)過點A，與BC相切于B，與AC相交于D，若ADCD1，求O的半徑r.10(12分)(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD.求證：ABCD.11(12分)(2011江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)求證：ABAC為定值74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關系自主梳理1(1)圓周角弧同弧等弧所對的弧圓周角半圓弦為直徑(2)一半2.(1)圓相交弦兩條線段長(2)等比中項(3)割線3.圓外切線長4.(1)互補對角(2)對角互補圓內(nèi)角的對角共圓5(1)半徑圓心切線切點圓心(2)外端垂直自我檢測1.解析設切點為T，則DTAC，AD2DB2DT，A30，sin A.22解析連接CB，則DCACBA，又ADCACB90，ADCACB.AC2ABAD2612.AC2.3.解析如圖，連接CE，AO，AB.根據(jù)A，E是半圓周上的兩個三等分點，BC為直徑，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB為等邊三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.440解析如圖，連接BD，則BDAC，由射影定理知，AB2ADAC32501 600，故AB40.5430解析由切割線定理得PD2PEPF，PE4，EF8，OD4.又ODPD，ODPO，P30，POD602EFD，EFD30.課堂活動區(qū)例1 解題導引(1)借用等弦或等弧所對圓周角相等，所對的圓心角相等，進行角的等量代換；同時也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對的弧相等，進行弧(或弦)的等量代換(2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法證明作直徑AF，連接BF，CF，則ABFACF90.又OEAB，O為AF的中點，則OEBF.ACBD，DBCACB90，又AF為直徑，BAFBFA90，AFBACB，DBCBAF，即有CDBF.從而得OECD.變式遷移1 證明CM是ACB的平分線，即BCAC，又由割線定理得BMBABNBC，BNACBMBA，又ACAB，BN3AM，在圓O內(nèi)ACMMCN，AMMN，BN3MN.例2 解題導引證明多點共圓，當它們在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補證明連接EF，因為EM是AEC的角平分線，所以FECFEA2FEM.同理，EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180，即BCD與BAD互補所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓變式遷移2 (1)證明連接OP，OM，因為AP與O相切于點P，所以OPAP.因為M是O的弦BC的中點，所以OMBC.于是OPAOMA180，由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓(2)解由(1)得A，P，O，M四點共圓，所以OAMOPM.由(1)得OPAP.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.例3 解題導引尋找適當?shù)南嗨迫切?，把幾條要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關的比例線段的定理找到需要的比例式，使問題得證證明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分線，故EPCAPD，PA是O的切線，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切線，PBC是割線PA2PBPC.故，又ADAE，故AD2DBEC.變式遷移3 證明(1)因為，所以BCDABC.又因為EC與圓相切于點C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因為ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.課后練習區(qū)14解析在同圓或等圓中，等弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對弦心距相等，故成立，又由，得，正確26解析連接BT，由切割線定理，得PT2PAPB，所以PB8，故AB6.3.解析ADBD(cm)，.48解析連接OA，OB，BCA45，AOB90.設圓O的半徑為R，在RtAOB中，R2R2AB216，R28.圓O的面積為8.5.解析如圖，依題意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60，在RtCAP中，有2OA2R2tan 602，R.64解析由切割線定理得：DBDADC2，即DB(DBBA)DC2，DB23DB280，DB4.7.解析設BEa，則AF4a，F(xiàn)B2a.AFFBDFFC，8a22，a，AF2，F(xiàn)B1，BE，AE.又CE為圓的切線，CE2EBEA.CE.8.解析PP，PCBPAD，PCBPAD.，.9.解過B點作BEAC交圓于點E，連接AE，BO并延長交AE于F，由題意ABCACBAEB，(2分)又BEAC，CABABE，則ABAC知，ABCACBAEBBAE，(4分)則AEBC，四邊形ACBE為平行四邊形BFAE.又BC2CDAC2，BC，BF.(8分)設OFx，則解得r.(11分)10證明由ABCBAD得ACBBDA，(3分)故A、B、C、D四點共圓，(5分)從而CABCDB.(7分)再由ABCBAD得CABDBA，因此DBACDB，(10分)所以ABCD.(12分)11.證明如圖，連接AO1并延長，分別交兩圓于點E和點D.連接BD，CE.因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑(5分)從而ABDACE.(7分)所以BDCE，于是.(10分)所以ABAC為定值(12分)12